Найдите значение выражения \(\displaystyle \left(41a^{24} \cdot b^4 - \left(3a^6b\right)^4\right) : \left(5a^{24}b^{6}\right)\) при \(\displaystyle b = 2.\)
Запишем деление в виде дроби:
\(\displaystyle \left(41a^{24} \cdot b^4 - \left(3a^6b\right)^4\right) : \left(5a^{24}b^{6}\right)=\frac{41a^{24} b^4 - \left(3a^6b\right)^4}{5a^{24}b^{6}}{\small.}\)
По свойствам степени: \(\displaystyle (ab)^n=a^n\cdot b^n\) и \(\displaystyle \left((a)^n\right)^m=a^{nm}{\small.}\)
Значит,
\(\displaystyle\color{green}{\left(3a^6b\right)^4=\left(3^1a^6b^1\right)^4=\left(3^1\right)^{4}\left(a^6\right)^{4}\left(b^1\right)^4=3^{1 \cdot 4}\cdot a^{6 \cdot 4}\cdot b^{1 \cdot 4}=3^{4} a^{24} b^{4}=81a^{24}b^{4}}{\small.}\)
Подставляя, получаем:
\(\displaystyle\frac{41a^{24} b^4 - \color{green}{\left(3a^6b\right)^4}}{5a^{24}b^{6}}=\frac{41a^{24} b^4 - \color{green}{81a^{24}b^4}}{5a^{24}b^{6}}{\small.}\)
В числителе приведем подобные слагаемые и сократим полученную дробь:
\(\displaystyle \frac{41a^{24} b^4 - 81a^{24}b^4}{5a^{24}b^{6}}=\frac{-40a^{24} b^4}{5a^{24}b^{6}}=-\frac{8}{b^2}{\small.}\)
Таким образом, верна следующая цепочка равенств:
\(\displaystyle \begin{aligned}\left(41a^{24} \cdot b^4 - \left(3a^6b\right)^4\right) : \left(5a^{24}b^{6}\right)=\frac{41a^{24} b^4 - \left(3a^6b\right)^4}{5a^{24}b^{6}}=\frac{41a^{24} b^4 - 81a^{24}b^4}{5a^{24}b^{6}}=\\[10px]=\frac{-40a^{24} b^4}{5a^{24}b^{6}}=-\frac{8}{b^2}{\small.}\end{aligned}\)
Подставим заданное в условии значение \(\displaystyle b = 2{\small:}\)
\(\displaystyle -\frac{8}{\color{blue}{b}^2}=-\frac{8}{\color{blue}{2}^2}=-2{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle -2 {\small.} \)