Используя метод интервалов, решите неравенство:
\(\displaystyle x^2<8x-16{\small .}\)
\(\displaystyle x\in\)
Чтобы решить неравенство методом интервалов, преобразуем неравенство так, чтобы с одной стороны был ноль:
\(\displaystyle x^2<8x-16{ \small ,}\)
\(\displaystyle x^2-8x+16<0{\small .}\)
Далее найдем все корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2-8x+16=0{\small .}\)
Отметим найденный корень на числовой прямой, выкалывая его (так как знак неравенства строгий):
Получаем два интервала:
\(\displaystyle (-\infty;4)\) и \(\displaystyle (4;+\infty){\small .}\)
Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=x^2-8x+16\) в каждом из данных интервалов.
Для интервала \(\displaystyle (-\infty;4)\) выберем \(\displaystyle x=0 \in (-\infty;4){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=0{ \small :}\)
\(\displaystyle f(0)=0^2-8\cdot 0+16>0{\small .}\)
Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (-\infty;4){\small :}\)
Для интервала \(\displaystyle (4;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=10 \in (4;+\infty){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=10 { \small :}\)
\(\displaystyle f(10)=10^2-8\cdot 10 +16>0{\small .}\)
Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (4;+\infty){\small :}\)
Так как решения неравенства \(\displaystyle x^2-8x+16<0\) соответствуют промежуткам, где функция \(\displaystyle f(x)=x^2-8x+16\) отрицательна, а таких промежутков нет, то решений нет.
Ответ: \(\displaystyle x \in \{\varnothing\}{\small .}\)