Используя метод интервалов, решите неравенство:
\(\displaystyle x^2-2x\ge-10{\small .}\)
\(\displaystyle x \in \)
Чтобы решить неравенство методом интервалов, преобразуем неравенство так, чтобы с одной стороны был ноль:
\(\displaystyle x^2-2x\ge -10{ \small ,}\)
\(\displaystyle x^2-2x+10\ge 0{\small .}\)
Так как для квадратного уравнения \(\displaystyle x^2-2x+10=0\) дискриминант \(\displaystyle {\rm D}=(-2)^2-4\cdot 10=-36<0\) отрицателен, то уравнение не имеет решений в действительных числах.
Значит, нужно рассматривать всю числовую ось:
Получаем один интервал:
\(\displaystyle (-\infty;+\infty){\small .}\)
При этом на всей числовой прямой функция \(\displaystyle f(x)=x^2-2x+10\) будет иметь один знак.
Выберем любую точку на прямой и определим знак функции в данной точке. Наиболее удобно выбрать \(\displaystyle x=0{\small :}\)
\(\displaystyle f(0)=0^2-2\cdot 0+10>0{\small .}\)
Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (-\infty;+\infty){\small :}\)
Так как решения неравенства \(\displaystyle x^2-2x+10\ge 0\) соответствуют промежуткам, где функция \(\displaystyle f(x)=x^2-2x+10\) положительна, и граничным точкам интервалов (в нашем случае граничных точек нет), то решением будут все числа, то есть
\(\displaystyle (-\infty;+\infty)\) – искомое решение.
Ответ: \(\displaystyle x \in (-\infty;+\infty){\small .}\)