Используя метод интервалов, решите неравенство:
\(\displaystyle \frac{x^2-6x+8}{x^2-8x+15}\le 0{\small .}\)
\(\displaystyle x \in \)
Найдем все корни числителя и знаменателя рационального выражения \(\displaystyle \frac{x^2-6x+8}{x^2-8x+15}{\small .}\)
Отметим найденные корни на числовой прямой, выкалывая (исключая) все корни знаменателя и закрашивая (включая) все корни числителя (так как знак неравенства нестрогий):
Получаем пять интервалов:
\(\displaystyle (-\infty;2){ \small ,} \, (2;3){ \small ,}\,(3;4){ \small ,}\,(4;5)\) и \(\displaystyle (5;+\infty){\small .}\)
Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-6x+8}{x^2-8x+15}\) в каждом из данных интервалов.
Для интервала \(\displaystyle (-\infty;2)\) выберем \(\displaystyle x=0 \in (-\infty;2){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=0{\small : }\)
\(\displaystyle f(0)=\frac{0^2-6\cdot 0+8}{0^2-8 \cdot 0+15}>0{\small .}\)
Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (-\infty;2){\small :}\)
Для интервала \(\displaystyle (2;3)\) выберем \(\displaystyle x=2{,}5 \in (2;3){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=2{,}5 {\small : }\)
\(\displaystyle f(2{,}5)=\frac{2{,}5^2-6\cdot 2{,}5+8}{2{,}5^2-8 \cdot 2{,}5+15}<0{\small .}\)
Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (2;3){\small :}\)
Для интервала \(\displaystyle (3;4)\) выберем \(\displaystyle x=3{,}5 \in (3;4){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=3{,}5 {\small : }\)
\(\displaystyle f(3{,}5)=\frac{3{,}5^2-6\cdot 3{,}5+8}{3{,}5^2-8 \cdot 3{,}5+15}>0{\small .}\)
Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (3;4){\small :}\)
Для интервала \(\displaystyle (4;5)\) выберем \(\displaystyle x=4{,}5 \in (4;5){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=4{,}5 {\small : }\)
\(\displaystyle f(4{,}5)=\frac{4{,}5^2-6\cdot 4{,}5+8}{4{,}5^2-8 \cdot 4{,}5+15}<0{\small .}\)
Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (4;5){\small :}\)
Для интервала \(\displaystyle (5;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=6 \in (5;+\infty){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=5 {\small : }\)
\(\displaystyle f(6)=\frac{6^2-6\cdot 6+8}{6^2-8 \cdot 6+15}>0{\small .}\)
Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (5;+\infty){\small :}\)
Так как решения неравенства \(\displaystyle \frac{x^2-6x+8}{x^2-8x+15}\le 0\) соответствуют промежуткам, где функция \(\displaystyle f(x)= \frac{x^2-6x+8}{x^2-8x+15}\) отрицательна, и закрашенным точкам (точки, обращающие функцию в ноль), то
\(\displaystyle [2;3)\cup [4;5)\) – искомое решение.
Ответ: \(\displaystyle x \in [2;3)\cup [4;5){\small .}\)