Skip to main content

Теория: Максимум и минимум (степенные и иррациональные функции) (в стадии наполнения)

Задание

Найдите точку, в которой достигается наибольшее значение функции \(\displaystyle f(x)=(x-2)^2(x-4)+5\) на отрезке \(\displaystyle [1;\,3]{\small.}\)

2
Решение
1) Найдем производную функции \(\displaystyle f(x)=(x-2)^2(x-4)+5{\small:}\)

\(\displaystyle f^{\prime}(x)=\left((x-2)^2(x-4)+5\right)^{\prime}=(2x-4)(x-4)+(x-2)^2\)

Упростим выражение \(\displaystyle (2x-4)(x-4)+(x-2)^2{\small.}\) Для этого раскроем скобки, а затем приведем подобные слагаемые:

\(\displaystyle \begin{aligned}\color{green}{(2x-4)(x-4)}+\color{blue}{(x-2)^2}=\color{green}{(\color{red}{\underline{\color{green}{2x^2}}}-\color{red}{\underline{\underline{\color{green}{4x}}}}-\color{red}{\underline{\underline{\color{green}{8x}}}}+\color{red}{\underline{\underline{\underline{\color{green}{16}}}}})}+\color{blue}{(\color{red}{\underline{\color{blue}{x^2}}}-\color{red}{\underline{\underline{\color{blue}{4x}}}}+\color{red}{\underline{\underline{\underline{\color{blue}{4}}}}})}=\\[5px]=\color{red}{\underline{\color{black}{3x^2}}}-\color{red}{\underline{\underline{\color{black}{16x}}}}+\color{red}{\underline{\underline{\underline{\color{black}{20}}}}}{\small.}\end{aligned}\)

Таким образом, получаем

 \(\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-16x+20{\small.}\)

2) Найдем точки, в которых \(\displaystyle f^{\prime}(x)=0{\small.}\)

Так как \(\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-16x+20{\small,}\) то для этого необходимо решить уравнение:

\(\displaystyle 3x^2-16x+20=0{\small.}\)

\(\displaystyle x_1=\frac{10}{3}\) и \(\displaystyle x_2=2\) корни квадратного уравнения \(\displaystyle 3x^2-16x+20=0{\small.}\)

3) Отметим корни производной на числовой прямой, а также определим ее знаки на получившихся интервалах.

  • на интервалах \(\displaystyle \color{green}{(-\infty;\,2)}\) и \(\displaystyle \textcolor{Purple}{\left(\frac{10}{3};\, +\infty\right)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)>0{\small,}\)
  • на интервале \(\displaystyle \textcolor{blue}{\left(2;\, \frac{10}{3}\right)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)<0{\small.}\)

Отмечая знаки производной на картинке, получаем:

4) Определим промежутки возрастания и убывания функции \(\displaystyle f(x)=(x-2)^2(x-4)+5{\small ,}\) пользуясь правилом.

Правило

Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f'(x_0)\) существует и \(\displaystyle f'(x_0)>0{\small,}\) то

функция \(\displaystyle f(x)\) возрастает \(\displaystyle \nearrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)

Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f'(x_0)\) существует и \(\displaystyle f'(x_0)<0{\small,}\) то

функция \(\displaystyle f(x)\) убывает \(\displaystyle \searrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)

Зная знаки производной \(\displaystyle f'(x){\small,}\) определим промежутки возрастания и убывания \(\displaystyle f(x){\small:}\)


Схематически изобразим \(\displaystyle f(x){\small:}\)

Значит, \(\displaystyle x=2\) – точка максимума функции \(\displaystyle f(x)=(x-2)^2(x-4)+5{\small.}\)

А точка \(\displaystyle x=\frac{10}{3}\) – точка минимума.

5) Определим, в какой из точек промежутка \(\displaystyle \left[1;\,3\right]\) достигается наибольшее значение.

Точка максимума \(\displaystyle x=2\) попадает в промежуток \(\displaystyle \left[1;\,3\right]{\small.}\)

Подставляем точку максимума \(\displaystyle \color{green}{x=2}\) и концы промежутка \(\displaystyle \color{blue}{x=1}\) и \(\displaystyle \textcolor{Purple}{x=3}\) в \(\displaystyle f(x)=(x-2)^2(x-4)+5{\small:}\)

  • \(\displaystyle f(\color{green}{2})=(2-2)^2(2-4)+5=0^2\cdot(-2)+5=5{\small,}\)
  • \(\displaystyle f(\color{blue}{1})=(1-2)^2(1-4)+5=(-1)^2\cdot(-3)+5=-3+5=2{\small,}\)
  • \(\displaystyle f(\textcolor{Purple}{3})=(3-2)^2(3-4)+5=(1)^2\cdot(-1)+5=-1+5=4{\small.}\)

Видим, что наибольшее значение достигается в точке \(\displaystyle \color{green}{x=2}{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 2{\small.}\)

Замечание / комментарий

Отметим на картинке отрезок \(\displaystyle \left[1;\,3\right]{\small:}\)

Видно, что на отрезке \(\displaystyle \left[1;\,3\right]\) функция возрастает до точки \(\displaystyle x=2{\small,}\) а затем убывает.

Значит, наибольшее значение достигается именно в точке \(\displaystyle x=2{\small.}\)