Периметр прямоугольника равен \(\displaystyle 34,\) а диагональ равна \(\displaystyle 13.\) Найдите площадь этого прямоугольника.
Сначала найдем стороны прямоугольника.
Пусть \(\displaystyle AB=x\) – меньшая сторона прямоугольника, а \(\displaystyle BC=y\) – большая сторона прямоугольника.
Периметр прямоугольника равен \(\displaystyle P=2(AB+BC).\) Известно, что \(\displaystyle P=34.\)
Значит,
\(\displaystyle \color{green}{2(x+y)=34}.\)
Для нахождения второго соотношения рассмотрим треугольник \(\displaystyle ABC \small{:}\)
Поскольку \(\displaystyle \angle ABC = 90^{\circ},\) то \(\displaystyle ABC\) – прямоугольный треугольник с гипотенузой \(\displaystyle AC.\)
По теореме Пифагора, \(\displaystyle AC^2=AB^2 + BC^2.\)
Значит,
\(\displaystyle \color{blue}{13^2=x^2 + y^2}.\)
Получаем систему уравнений
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{green}{2(x+y)=34}{ \small ,}\\\color{blue}{x^2 + y^2=13^2} {\small .}\end{aligned}\right. \)
Выразим из первого уравнения \(\displaystyle y\) через \(\displaystyle x\):
\(\displaystyle 2(x+y)=34 \, | : \color{red}{2},\)
\(\displaystyle x+y=17,\)
\(\displaystyle y=17-x.\)
Подставим полученное выражение во второе уравнение:
\(\displaystyle x^2 + (17-x)^2=13^2,\)
\(\displaystyle x^2 + 289 - 34x+x^2=169,\)
\(\displaystyle 2x^2-34x+289-169=0,\)
\(\displaystyle 2x^2-34x+120=0 \, | : \color{red}{2},\)
\(\displaystyle x^2-17x+60=0.\)
Решим квадратное уравнение.
Если \(\displaystyle x=12,\) то \(\displaystyle y=17-x=5.\)
Если \(\displaystyle x=5,\) то \(\displaystyle y=17-x=12.\)
Поскольку \(\displaystyle x\) – меньшая сторона прямоугольника, то \(\displaystyle x=5,\) \(\displaystyle y=12.\)
Получили \(\displaystyle AB=5\) и \(\displaystyle BC=12.\)
Площадь прямоугольника равна \(\displaystyle S=AB\cdot BC.\)
Значит,
\(\displaystyle S=5\cdot 12=60.\)
Ответ: \(\displaystyle 60{\small .}\)