Skip to main content

Теория: 03 Максимум и минимум (показательные функции) (в стадии наполнения)

Задание

Найдите точку максимума функции \(\displaystyle f(x)=\left(9-x\right)e^{x+9}{\small.}\)

\(\displaystyle x_{max}=\)
8
Решение

1) Найдем производную функции \(\displaystyle f(x)=\left(9-x\right)e^{x+9}{\small.}\)

\(\displaystyle f^{\prime}(x)=\left(\left(9-x\right)e^{x+9}\right)^{\prime}=-e^{x+9}+(9-x)e^{x+9}{\small.}\)

Упростим выражение \(\displaystyle -e^{x+9}+(9-x)e^{x+9}{\small.}\)

Вынесем \(\displaystyle e^{x+9}\) за скобку, а затем приведем подобные слагаемые:

\(\displaystyle \begin{aligned}-e^{x+9}+(9-x)e^{x+9}=\left(-{\color{red}{\underline{\underline{\color{black}{1}}}}}+{\color{red}{\underline{\underline{\color{black}{9}}}}}-\color{red}{\underline{\color{black}{x}}}\right)e^{x+9}=\left({\color{red}{\underline{\underline{\color{black}{8}}}}}-\color{red}{\underline{\color{black}{x}}}\right)e^{x+9}{\small.}\end{aligned}\)

Таким образом, получаем:

\(\displaystyle f^{\prime}(x)=-e^{x+9}+(9-x)e^{x+9}=\left(8-x\right)e^{x+9}{\small.}\)

2) Найдем точки, в которых \(\displaystyle f^{\prime}(x)=0{\small.}\)

Так как \(\displaystyle f^{\prime}(x)=(8-x)e^{x+9}{\small,}\) то для этого необходимо решить уравнение \(\displaystyle (8-x)e^{x+9}=0{\small.}\)

\(\displaystyle x=8\) корень уравнения \(\displaystyle (8-x)e^{x+9}=0{\small.}\)

3) Отметим корни производной на числовой прямой, а также определим ее знаки на получившихся интервалах.

  • на интервале \(\displaystyle \color{green}{(-\infty;\,8)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)>0{\small,}\)
  • на интервале \(\displaystyle \textcolor{blue}{(8;\, +\infty)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)<0{\small.}\)

Отмечая знаки производной на картинке, получаем:

4) Определим промежутки возрастания и убывания функции \(\displaystyle f(x)=\left(9-x\right)e^{x+9}{\small ,}\) пользуясь правилом.

Правило

Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f'(x_0)\) существует и \(\displaystyle f'(x_0)>0{\small,}\) то

функция \(\displaystyle f(x)\) возрастает \(\displaystyle \nearrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)

Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f'(x_0)\) существует и \(\displaystyle f'(x_0)<0{\small,}\) то

функция \(\displaystyle f(x)\) убывает \(\displaystyle \searrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)

Зная знаки производной \(\displaystyle f'(x){\small,}\) определим промежутки возрастания и убывания \(\displaystyle f(x){\small:}\)


Схематически изобразим \(\displaystyle f(x){\small:}\)

Значит, \(\displaystyle x=8\) – точка максимума функции \(\displaystyle f(x)=\left(9-x\right)e^{x+9}{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 8{\small.}\)