Найдите значение выражения:
\(\displaystyle 2^{\log_2 {6}}+36^{\log_6 {\sqrt{12}}}= \)
Найдем значение первого слагаемого \(\displaystyle 2^{\log_2 {6}}{\small.}\)
Применим основное свойство логарифма:
\(\displaystyle \color{red}a^{\log_{\color{red}a} {\color{blue}{b}}}=\color{blue}{b} \) \(\displaystyle (b>0,a>0,a \, \cancel= \,1 )\)
Тогда
\(\displaystyle 2^{\log_2 {6}}=6{\small.}\)
Найдем значение второго слагаемого \(\displaystyle 36^{\log_6 {\sqrt{12}}}{\small.}\)
У степени и логарифма разные основания, однако они связаны друг с другом: \(\displaystyle 36=6^2{\small.}\)
Тогда:
\(\displaystyle 36^{\color{green}{\log_6 {\sqrt{12}}}}=\left(6^\color{blue}{2}\right)^{\color{green}{\log_6 \sqrt{12}}}=6^{\color{blue}{2} \cdot \color{green}{\log_6 {\sqrt{12}}}} =6^{ \color{green}{(\log_6 \sqrt{12}) \cdot \color{blue}{2}}}=\left(6^{\color{green}{\log_6 \sqrt{12} }} \right)^{\color{blue}{2}}=\left(\color{green}{ \sqrt{12} } \right)^{\color{blue}{2}}=12{\small.}\)
Таким образом,
\(\displaystyle 2^{\log_2 {6}}+36^{\log_6 {\sqrt{12}}}=6+12=18 {\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 18 {\small.} \)