Найдите значение выражения:
\(\displaystyle \frac{\log_3 10{,}8 -\log_3 0{,}4}{4^{\log_{16} 25}}= \)
Упростим числитель данного выражения: \(\displaystyle \log_3 10{,}8 -\log_3 0{,}4{\small.}\) Это разность логарифмов с одинаковым основанием.
Применим свойство:
\(\displaystyle \log_a b-\log_a c=\log_a \frac{b}{c} \)
\(\displaystyle (b>0, c>0,a>0,a \, \cancel= \,1 )\)
Получаем:
\(\displaystyle \log_3 10{,}8 -\log_3 0{,}4=\log_3 \frac{10{,}8}{0{,}4}{\small.}\)
Упростим этот логарифм:
\(\displaystyle \log_3 \frac{10{,}8}{0{,}4}=\log_3 \frac{108}{4}=\log_3 27=3{\small .}\)
Преобразуем знаменатель данной в условии дроби: \(\displaystyle 4^{\log_{16} 25} {\small.} \)
В показателе степени стоит логарифм. Сначала упростим его.
Для этого основание и аргумент логарифма \(\displaystyle \log_{16}{25}\) представим в виде степеней простых чисел:
\(\displaystyle 16=2^4\) и \(\displaystyle 25=5^2{\small . }\)
Тогда
\(\displaystyle \log_{16}{25}=\log_{2^4}{5^2}{\small . }\)
Применим свойства логарифма, связанные со степенями:
\(\displaystyle \log_a b^{\color{blue}{k}}=\color{blue}{k} \log_a b \)
\(\displaystyle \log_{a^{\color{red}{p}}} b=\frac{1}{\color{red}{p}} \log_a b \)
\(\displaystyle (b>0,a>0,a \, \cancel= \,1, p\, \cancel=\,0 )\)
Получаем:
\(\displaystyle \log_{2^{\color{red}{4}}} {5^{\color{blue}{2}}}=\frac{\color{blue}{2}}{\color{red}{4}}\log_2 5= \frac{ 1}{ 2 }\log_2 5{\small.}\)
Значит,
\(\displaystyle 4^{\log_{16}{25}}=4^{\frac{ 1}{ 2 }\log_2 5}{\small.}\)
Теперь представим \(\displaystyle 4\) в виде степени числа \(\displaystyle 2{:}\)
\(\displaystyle 4=2^2{\small . }\)
Получаем:
\(\displaystyle 4^{\frac{ 1}{ 2 }\log_2 5}=(2^2)^{\frac{ 1}{ 2 }\log_2 5}{\small.}\)
Раскроем скобки:
\(\displaystyle (2^2)^{\frac{ 1}{ 2 }\log_2 5}=2^{2\cdot \frac{ 1}{ 2 }\log_2 5}=2^{\log_2 5}{\small.}\)
Основания полученной степени и логарифма одинаковы.
Применим основное свойство логарифма:
\(\displaystyle \color{red}a^{\log_{\color{red}a} {\color{blue}{b}}}=\color{blue}{b} \) \(\displaystyle (b>0,a>0,a \, \cancel= \,1 )\)
В нашем случае \(\displaystyle a=2, b=5:\)
\(\displaystyle \color{red}{2}^{\log_\color{red}{2} {\color{blue}{5}}}=\color{blue}{5} {\small.}\)
Таким образом, верна следующая цепочка равенств:
\(\displaystyle \frac{\log_3 10{,}8 -\log_3 0{,}4}{4^{\log_{16} 25}}= \frac{\log_3 \frac{10{,}8}{0{,}4}}{4^{\frac{ 1}{2 }\log_{2} 5}}=\frac{\log_3 27}{(2^2)^{\frac{1}{2}\log_{2} 5}}=\frac{3}{2^{\log_{2} 5}}= \frac{3}{5}=0{,}6{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 0{,}6 {\small.} \)