Skip to main content

Теория: Логарифмические выражения (комбинированные преобразования) (в режиме наполнения)

Задание

Найдите значение выражения:

\(\displaystyle \frac{\log_9 6-0{,}5}{\log_9 2}= \)

Решение

В данном выражении \(\displaystyle \frac{\log_9 6-0{,}5}{\log_9 2}\) в числителе стоит разность. Преобразуем ее в разность логарифмов с одинаковыми основаниями. 

Для этого представим число \(\displaystyle 0{,}5\) в виде логарифма с основанием \(\displaystyle 9:\)

\(\displaystyle 0{,}5=\log_9 9^{0{,}5}=\log_9 9^{\frac{1}{2}}=\log_9 3{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle \log_9 6-0{,}5=\log_9 6-\log_9 3{\small.}\)

Применим свойство разности логарифмов:

Правило

\(\displaystyle \log_a b-\log_a c=\log_a \frac{b}{c} \)

\(\displaystyle (b>0, c>0,a>0,a \, \cancel= \,1 )\)

Получаем:

\(\displaystyle \log_9 6-\log_9 3=\log_9 \frac{6}{3}=\log_9 2{\small.}\)


Значит, для исходного выражения

\(\displaystyle \frac{\log_9 6-0{,}5}{\log_9 2}=\frac{\log_9 2}{\log_9 2}=1{\small .}\) 


Таким образом, верна следующая цепочка равенств:

\(\displaystyle \frac{\log_9 6-0{,}5}{\log_9 2}=\frac{\log_9 6-\log_9 9^{0{,}5}}{\log_9 2}=\frac{\log_9 6-\log_9 3}{\log_9 2}=\frac{\log_9 \frac{6}{3}}{\log_9 2}=\frac{\log_9 2}{\log_9 2}=1{\small .}\) 


Ответ: \(\displaystyle 1 {\small.} \)