Skip to main content

Теория: 10 Логарифмические выражения (свойства логарифмов - 1)

Задание

Найдите значение логарифма

\(\displaystyle \log_{\sqrt[4]{3}}9=\)

Решение

Представим основание логарифма  \(\displaystyle \log_{\sqrt[4]{3}}9\) в виде степени:

\(\displaystyle \sqrt[\color{red}4]{3}=3^\frac{1}{\color{red}4}{\small.}\)

Памятка - степень с дробным показателем 

То есть

\(\displaystyle \log_{\color{blue}{\sqrt[4]{3}}}9=\log_{\color{blue}{3^{\frac{1}{4}}}}9\)

Применим свойство логарифма, в основании которого стоит степень:

Правило

\(\displaystyle \log_{a^{\color{red}{k}}} b=\frac{1}{\color{red}{k}} \log_a b \)           

 \(\displaystyle (b>0,a>0,a \, \cancel= \,1 , k\, \cancel= \,0)\)

Получаем:

\(\displaystyle \log_{3^{\color{red}{\frac{1}{4}}}} 9=\frac{1}{\color{red}{\phantom{1}\frac{1}{4}\phantom{1}}} \log_3 9=4\log_3 9 {\small.}\)

Найдем значение полученного более простого логарифма:

\(\displaystyle \log_3 9=2 {\small.}\)

Тогда 

\(\displaystyle 4\log_3 9=4\cdot 2=8 {\small.}\)


Таким образом, верна следующая цепочка равенств:

\(\displaystyle \log_{\sqrt[4]{3}}9=\log_{3^{\frac{1}{4}}}9=4\log_3 9=4\cdot 2=8 {\small.}\)


Ответ: \(\displaystyle 8 {\small.} \)