Найдите значение выражения:
\(\displaystyle \log_{0{,}4} \left(6\frac{1}{4}\right)= \)
В данном логарифме \(\displaystyle \log_{0{,}4} \left(6\frac{1}{4}\right)\) представим основание и подлогарифмическое выражение в виде степеней с одним основанием.
Для этого сначала переведем десятичную дробь и смешанное число в обыкновенные дроби:
\(\displaystyle 0{,}4=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}{\small,}\)
\(\displaystyle 6\frac{1}{4}=\frac{25}{4}{\small.}\)
То есть
\(\displaystyle \log_{0{,}4} \left(6\frac{1}{4}\right)=\log_{\frac{2}{5}} \frac{25}{4} {\small.} \)
Представим подлогарифмическое выражение в виде степени с основанием \(\displaystyle \frac{2}{5}: \)
\(\displaystyle \frac{25}{4}=\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}{\small.} \)
Тогда
\(\displaystyle \log_{\frac{2}{5}} \frac{25}{4}=\log_{\frac{2}{5}}\left(\frac{2}{5}\right)^{-2} {\small.}\)
Применим свойство логарифма степени:
\(\displaystyle \log_a b^{\color{blue}{k}}=\color{blue}{k} \log_a b \)
\(\displaystyle (b>0,a>0,a \, \cancel= \,1 )\)
Получаем:
\(\displaystyle \log_{\frac{2}{5}}\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}=-2\log_{\frac{2}{5}}\frac{2}{5} {\small.}\)
Найдем значение полученного более простого логарифма:
\(\displaystyle \log_{\frac{2}{5}}\frac{2}{5}=1 {\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle -2\log_{\frac{2}{5}}\frac{2}{5}=-2 \cdot 1=-2 {\small.}\)
Таким образом, верна следующая цепочка равенств:
\(\displaystyle \log_{0{,}4} \left(6\frac{1}{4}\right)=\log_{\frac{2}{5}} \frac{25}{4} =\log_{\frac{2}{5}}\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}=-2\log_{\frac{2}{5}}\frac{2}{5}=-2 \cdot 1=-2 {\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle -2 {\small.} \)