Skip to main content

Теория: 07 Ромб (перпендикулярность диагоналей) (в стадии наполнения)

Задание

Сторона ромба равна \(\displaystyle {5}.\) Одна из его диагоналей на \(\displaystyle 2\) больше другой. Найдите меньшую диагональ. 

6
Решение

Пусть \(\displaystyle BD=x\) – меньшая диагональ ромба, тогда \(\displaystyle AC=x+2 \) – большая диагональ ромба.


По свойству параллелограмма, диагонали точкой пересечения делятся пополам. Значит,

\(\displaystyle BO=OD=\frac{x}{2}\) и \(\displaystyle AO=OC=\frac{x+2}{2}.\)

По свойству ромба, диагонали перпендикулярны. Значит, угол \(\displaystyle AOB\) –  прямой. 

Выразим сторону \(\displaystyle AB\) ромба из прямоугольного треугольника \(\displaystyle AOB.\) По теореме Пифагора

\(\displaystyle AB^2=AO^2+OB^2.\)

Тогда

\(\displaystyle {5}^2=\left(\frac{x+2}{2}\right)^2+\left(\frac{x}{2}\right)^2,\)

\(\displaystyle 25=\frac{x^2+4x+4}{4}+\frac{x^2}{4},\)

\(\displaystyle 100=2x^2+4x+4,\)

\(\displaystyle 2x^2+4x-96=0,\)

\(\displaystyle x^2+2x-48=0.\)

Решим квадратное уравнение.

\(\displaystyle x_1=6\) и \(\displaystyle x_2=-8\) корни уравнения \(\displaystyle x^2+2x-48=0\)

Так как длина отрезка положительна, то \(\displaystyle x=6.\) Следовательно, длина меньшей диагонали ромба равна \(\displaystyle 6.\)


Ответ: \(\displaystyle 6{\small .}\)