Skip to main content

Теория: 08 Ромб (комбинированные задачи)(в стадии наполнения)

Задание

Точка \(\displaystyle O\) – точка пересечения диагоналей \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\) ромба \(\displaystyle ABCD.\) Найдите сторону ромба, если площадь треугольника \(\displaystyle ABO \) равна \(\displaystyle 5,\) а синус острого угла ромба составляет \(\displaystyle 0{,}2.\)

10
Решение

По свойству ромба диагонали \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\) перпендикулярны, по свойству параллелограмма они делятся пополам точкой \(\displaystyle O.\) Тогда прямоугольные треугольники  \(\displaystyle AOB,\) \(\displaystyle COB,\) \(\displaystyle COD\) и \(\displaystyle AOD\) равны по двум катетам.


Значит, у треугольников \(\displaystyle AOB,\) \(\displaystyle BOC,\) \(\displaystyle COD\) и \(\displaystyle DOA\) равные площади и 

\(\displaystyle S_{ABCD}={4} S_{ABO}=4 \cdot 5=20 .\) 

 

Поскольку площадь ромба равна произведению квадрата стороны и синуса угла между сторонами

\(\displaystyle S_{ромб}=a^2 \sin \alpha ,\)

где \(\displaystyle a\) – сторона, \(\displaystyle \alpha\) – острый угол  ромба, то получаем 

\(\displaystyle 20=a^2 \cdot 0{,}2,\)

\(\displaystyle a^2 =\frac{20}{0{,}2},\)

\(\displaystyle a^2 ={100}.\)

Поскольку длина отрезка положительна, то 

\(\displaystyle a=10.\)

Ответ: \(\displaystyle 10 {\small .}\)