Skip to main content

Теория: Ромб (сложные задачи) (в стадии наполнения)

Задание

Найдите бoльшую диагональ ромба, сторона которого равна \(\displaystyle \sqrt{3},\) а острый угол равен \(\displaystyle 60^\circ.\)

3
Решение

Пусть \(\displaystyle BAD=60^\circ \) – острый угол  ромба \(\displaystyle ABCD.\) 

Известно, что

Большая диагональ ромба лежит против тупого угла.

Тогда \(\displaystyle AC\) – большая диагональ и нужно найти \(\displaystyle AC{\small .}\)

 

Первый способ решения

План решения задачи

1. Найдем площадь ромба.

2. Найдем меньшую диагональ.

3. Найдем большую диагональ.

 

1. Так как

\(\displaystyle S_{ромб}=a^2 \sin \alpha ,\)

где \(\displaystyle a\) – сторона ромба, \(\displaystyle \alpha \) – угол между его сторонами, то

\(\displaystyle {S_{ромб}} = ({\sqrt{3}})^2 \cdot \sin 60^{\circ} = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}= \frac{3\sqrt{3}}{2}{\small.}\)
 

2. Меньшую диагональ \(\displaystyle BD\) найдем из треугольника \(\displaystyle ABD.\)

Так как \(\displaystyle AB=AD=\sqrt{3}\) и \(\displaystyle \angle BAD =60^{\circ}, \) то \(\displaystyle ABD\) – правильный треугольник, и \(\displaystyle BD=\sqrt{3}.\)
 

3. Поскольку площадь ромба равна половине произведения диагоналей

\(\displaystyle S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD ,\)

то

\(\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}\cdot AC\cdot \sqrt{3} {\small,}\)

\(\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot AC {\small,}\)

откуда

\(\displaystyle AC = 3 {\small .}\)
 

Ответ: \(\displaystyle 3 {\small .}\)
 

Второй способ решения.

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ABC .\) В нем \(\displaystyle AB=BC=\sqrt{3},\) \(\displaystyle \angle ABC=120^{\circ}.\)

По теореме косинусов

\(\displaystyle AC^2=AB^2+BC^2-2AB\cdot BC\cdot \cos\angle ABC ,\)

\(\displaystyle AC^2=(\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2-2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}\cdot \cos 120^{\circ} ,\)

\(\displaystyle AC^2=3+3-2\cdot {3}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right) ,\)

\(\displaystyle AC^2=6+3=9 ,\)

откуда \(\displaystyle AC=3 .\)
 

Ответ: \(\displaystyle 3 {\small .}\)