На рисунке изображен график производной функции \(\displaystyle f(x){ \small ,}\) определенной на интервале \(\displaystyle (−10; 2){\small .}\) Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции \(\displaystyle f(x)\) параллельна прямой \(\displaystyle y = −2x − 11\) или совпадает с ней.
Воспользуемся правилом:
Две прямые, заданные уравнениями
\(\displaystyle y=\color{red}{k_1}x+b_1\) и \(\displaystyle y=\color{red}{k_2}x+b_2{\small,}\)
параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны:
\(\displaystyle \color{red}{k_1}=\color{red}{k_2}{\small.}\)
Рассмотрим угловой коэффициент касательной и угловой коэффициент прямой \(\displaystyle y=-2x-11{\small.}\)
Чтобы прямые были параллельны, угловые коэффициенты должны быть равны:
\(\displaystyle f^{\prime}(x_0)=-2{\small.}\)
Поскольку дан график функции \(\displaystyle y=f^{\prime}(x){\small ,}\) то условие \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)=-2\) означает,
что на графике \(\displaystyle y=f^{\prime}(x)\) нужно найти точки с координатой \(\displaystyle -2\) по оси \(\displaystyle \rm OY{ \small .}\)
Поэтому найдем количество точек пересечения графика \(\displaystyle y=f^{\prime}(x)\) с прямой \(\displaystyle y=-2{\small:}\)
Получаем, что \(\displaystyle f^{\prime}(x)=-2\) в пяти точках.
Значит, касательная параллельна прямой \(\displaystyle y=-2x-11\) в \(\displaystyle 5\) точках.
Ответ: \(\displaystyle 5{\small.}\)