Skip to main content

Теория: 06 Тангенс угла наклона касательной (в стадии наполнения)

Задание

На рисунке изображен график производной функции \(\displaystyle f(x){ \small ,}\) определенной на интервале \(\displaystyle (−10; 2){\small .}\) Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции \(\displaystyle f(x)\) параллельна прямой \(\displaystyle y = −2x − 11\) или совпадает с ней.

5
Решение

Воспользуемся правилом:

Правило

Две прямые, заданные уравнениями

\(\displaystyle y=\color{red}{k_1}x+b_1\) и \(\displaystyle y=\color{red}{k_2}x+b_2{\small,}\)

параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны:

\(\displaystyle \color{red}{k_1}=\color{red}{k_2}{\small.}\)

Рассмотрим угловой коэффициент касательной и угловой коэффициент прямой \(\displaystyle y=-2x-11{\small.}\) 

Угловой коэффициент касательной к функции \(\displaystyle f(x)\) в точке \(\displaystyle x_0\) равен \(\displaystyle f^{\prime}(x_0){\small.}\)

Угловой коэффициент прямой \(\displaystyle y=-2x-11\) равен \(\displaystyle -2{\small.}\)

Чтобы прямые были параллельны, угловые коэффициенты должны быть равны:

 \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)=-2{\small.}\)


Поскольку дан график функции \(\displaystyle y=f^{\prime}(x){\small ,}\) то условие  \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)=-2\) означает,

что на графике \(\displaystyle y=f^{\prime}(x)\) нужно найти точки с координатой \(\displaystyle -2\) по оси \(\displaystyle \rm OY{ \small .}\)

Поэтому найдем количество точек пересечения графика \(\displaystyle y=f^{\prime}(x)\) с прямой \(\displaystyle y=-2{\small:}\)

Получаем, что \(\displaystyle f^{\prime}(x)=-2\) в пяти точках.

Значит, касательная параллельна прямой \(\displaystyle y=-2x-11\) в \(\displaystyle 5\) точках.

Ответ: \(\displaystyle 5{\small.}\)