На рисунке изображён график функции \(\displaystyle y=f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(\displaystyle x_0{\small .}\) Найдите значение производной функции \(\displaystyle f(x)\) в точке \(\displaystyle x_0{\small .}\)
Проведем через целочисленные точки на касательной вертикальную прямую и горизонтальную прямую. Получился прямоугольный треугольник \(\displaystyle MNO{\small.}\) |  |
Найдем тангенс угла \(\displaystyle MNO{\small.}\) Посчитаем длины катетов в треугольнике \(\displaystyle MNO{\small:}\) \(\displaystyle \color{blue}{MO}=\color{blue}{2}\) и \(\displaystyle \color{#009900}{NO}=\color{#009900}{8}{\small.}\) Тангенс угла \(\displaystyle MNO\)равен отношению противолежащего катета к прилежащему: \(\displaystyle \tg\angle MNO=\frac{\color{blue}{MO}}{\color{#009900}{NO}}=\frac{\color{blue}{2}}{\color{#009900}{8}}=0{,}25{\small.}\) |  |
Значение производной в точке \(\displaystyle x_0\) равно \(\displaystyle \tg(\color{red}{\alpha}){ \small ,}\) где \(\displaystyle \color{red}{\alpha}\) – угол наклона касательной в соответствующей точке на кривой \(\displaystyle y=f(x){\small :}\) \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)=\tg \color{red}{\alpha}{\small.}\) Угол \(\displaystyle MNO\) является смежным к углу, \(\displaystyle \color{red}{\alpha}={180-\angle MNO}{\small.}\) |  |
Так как, согласно формулам приведения, \(\displaystyle \tg \color{red}{\alpha} =\tg({180-\angle MNO})=-\tg \angle MNO{\small,}\) то получаем:
\(\displaystyle f^{\prime}(x_0)=\tg\color{red}{\alpha}=-\tg \angle MNO=-0{,}25{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle -0{,}25{\small.}\)