Skip to main content

Теория: 06 Тангенс угла наклона касательной (в стадии наполнения)

Задание

На рисунке изображён график функции \(\displaystyle y=f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(\displaystyle x_0{\small .}\) Найдите значение производной функции \(\displaystyle f(x)\) в точке \(\displaystyle x_0{\small .}\)

-0,25
Решение

Проведем через целочисленные точки на касательной вертикальную прямую и горизонтальную прямую.

Получился прямоугольный треугольник \(\displaystyle MNO{\small.}\)

 

Найдем тангенс угла  \(\displaystyle MNO{\small.}\) 

Посчитаем длины катетов в треугольнике \(\displaystyle MNO{\small:}\)

\(\displaystyle \color{blue}{MO}=\color{blue}{2}\) и \(\displaystyle \color{#009900}{NO}=\color{#009900}{8}{\small.}\)

Тангенс угла \(\displaystyle MNO\)равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

\(\displaystyle \tg\angle MNO=\frac{\color{blue}{MO}}{\color{#009900}{NO}}=\frac{\color{blue}{2}}{\color{#009900}{8}}=0{,}25{\small.}\)

 

Значение производной в точке \(\displaystyle x_0\) равно \(\displaystyle \tg(\color{red}{\alpha}){ \small ,}\)  где \(\displaystyle \color{red}{\alpha}\) – угол наклона касательной в соответствующей точке на кривой \(\displaystyle y=f(x){\small :}\)

 \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)=\tg \color{red}{\alpha}{\small.}\)

Угол \(\displaystyle MNO\) является смежным к углу, равному \(\displaystyle \color{red}{\alpha}{\small:}\)

\(\displaystyle \color{red}{\alpha}={180-\angle MNO}{\small.}\)


Так как согласно формулам приведения \(\displaystyle \tg \color{red}{\alpha} =\tg({180-\angle MNO})=-\tg \angle MNO{\small,}\) то получаем:

\(\displaystyle f^{\prime}(x_0)=\tg\color{red}{\alpha}=-\tg \angle MNO=-0{,}25{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle -0{,}25{\small.}\)