Skip to main content

Теория: Исследование функций с помощью графика производной (в стадии наполнения)

Задание

На рисунке изображен график производной функции \(\displaystyle y = f(x){ \small ,}\) определенной на интервале \(\displaystyle (-11; 11){\small .}\) Найдите количество точек экстремума функции \(\displaystyle f(x)\) на отрезке \(\displaystyle [-10; 10]{\small .}\)

5
Решение

В условии задачи требуется найти количество точек экстремума на отрезке \(\displaystyle [-10;\, 10 ]{\small.}\)

Поэтому далее будем рассматривать график \(\displaystyle y=f^{\prime}(x)\) только на отрезке \(\displaystyle [-10;\, 10 ]{\small:}\)

1. Отметим на рисунке точки в которых график пересекает ось \(\displaystyle \rm OX {\small:}\)

Получаем, что \(\displaystyle f^{\prime}(x)=0\) в точке \(\displaystyle x=3{\small.}\)

2. График разбился на интервалы, где \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)> 0\) и \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)< 0{\small :}\)

На интервалах \(\displaystyle (-10;\,-6){\small,}\)  \(\displaystyle (-2;\,2){\small,}\)  \(\displaystyle (6;\,9)\) производная отрицательна, на интервалах \(\displaystyle (-6;\,-2){\small,}\)  \(\displaystyle (2;\,6){\small,}\)  \(\displaystyle (9;\,10)\) положительна.

3. Определим промежутки возрастания и убывания \(\displaystyle f(x){\small:}\)

ИнтервалыЗнак производнойПоведение функции
\(\displaystyle (-10;\,-6){\small,}\)  \(\displaystyle (-2;\,2){\small,}\)  \(\displaystyle (6;\,9)\)\(\displaystyle \color{blue}{f^{\prime}(x)<0}\)\(\displaystyle f(x)\) убывает \(\displaystyle \color{blue}{\searrow}\)
\(\displaystyle (-6;\,-2){\small,}\)  \(\displaystyle (2;\,6){\small,}\)  \(\displaystyle (9;\,10)\)\(\displaystyle \color{green}{f^{\prime}(x)>0}\)\(\displaystyle f(x)\) возрастает \(\displaystyle \color{green}{\nearrow}\)


4. Схематично изобразим \(\displaystyle f(x)\) на отрезке \(\displaystyle [-2;\, 6 ]{\small:}\)

Получаем три точки минимума и две точки максимума. Итого \(\displaystyle 5\) точек экстремума.

Ответ: \(\displaystyle 5{\small.}\)