Skip to main content

Теория: Тригонометрия (формулы приведения)

Задание

Найдите значение выражения:

\(\displaystyle -4 \sqrt{3} \, \cos ({-750^\circ })=\)

Решение

Применим формулу \(\displaystyle \cos (-\alpha)=\cos\alpha :\)

\(\displaystyle -4 \sqrt{3} \, \cos ({-750^\circ })=-4 \sqrt{3} \, \cos{750^\circ }{\small .}\)

Поскольку \(\displaystyle 750^\circ=\color{red}{ 4}\cdot 180^\circ+30^\circ,\) то\(\displaystyle 750^\circ \) находится между \(\displaystyle \color{red}{ 4}\cdot 180^\circ \) и \(\displaystyle \color{red}{ 5}\cdot 180^\circ {\small , }\) то есть

\(\displaystyle \color{red}{ 4}\cdot 180^\circ<750^\circ<\color{red}{ 5}\cdot 180^\circ{\small .}\)

Так как

\(\displaystyle 750^\circ \) ближе к \(\displaystyle 4\cdot 180\)

то запишем \(\displaystyle 750^\circ \) следующим образом:

\(\displaystyle 750^\circ =4\cdot 180^\circ+30^\circ{\small ,}\) откуда

\(\displaystyle \cos {750^\circ }=\cos {(4\cdot 180^\circ+30^\circ)}{\small .}\)

Применим формулу приведения.

Подсказка - алгоритм применения формулы приведения

\(\displaystyle \cos {(4 \cdot 180^\circ+30^\circ)}\)

1. Определим, в какой четверти находится угол \(\displaystyle 4 \cdot 180^\circ+30^\circ:\)

Значит, угол \(\displaystyle 4 \cdot 180^\circ+30^\circ \) находится в первой четверти.


2. Определим знак исходной функции.

В первой четверти косинус положительный (\(\displaystyle {\bf +}\)). 


3. Определим, какая будет функция.

Так как к аргументу \(\displaystyle 30^\circ\) прибавляем \(\displaystyle 4 \cdot 180^\circ \) (целое число раз по \(\displaystyle 180^\circ\)), то функция не меняется

Значит, 

\(\displaystyle \cos {(4 \cdot 180^\circ+30^\circ)}=+\cos {30^\circ}\)

или

\(\displaystyle \cos {750^\circ}=\cos {30^\circ}{\small .}\)


А \(\displaystyle \cos 30^\circ\) – это уже табличное значение.


Таким образом, верна следующая цепочка равенств:

 \(\displaystyle -4 \sqrt{3} \, \cos (-750^\circ)=-4 \sqrt{3} \, \cos 750^\circ=-4 \sqrt{3} \, \cos 30^\circ=-4 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt 3}{2} =-\frac{4 \cdot 3}{2}=-6{\small .}\)


Ответ: \(\displaystyle -6 {\small.} \)