Skip to main content

Теория: Тригонометрия (формулы приведения)

Задание

Найдите значение выражения:

\(\displaystyle 12 \sin 150^ \circ\cdot \cos 120^ \circ= \)

Решение

Углы  \(\displaystyle 150^ \circ \) и \(\displaystyle 120^\circ\) находятся между углами \(\displaystyle \color{blue}0^\circ\) и \(\displaystyle \color{blue}{180}^\circ{\small .}\) При этом ближе к \(\displaystyle \color{blue}{180^\circ}{\small .}\)

Представим данные углы через \(\displaystyle \color{blue}{180^\circ}{\small .}\)


Тогда:

\(\displaystyle \sin \color{blue}{150^ \circ}=\sin ({\color{blue}{180^\circ-30^\circ} }){\small .}\)


Получилась формула приведения. Применим ее.

Подсказка - алгоритм применения формулы приведения

1. Определим, в какой четверти находится угол \(\displaystyle (180^\circ-30^\circ) \) :

Значит, угол \(\displaystyle (180^\circ-30^\circ) \) находится во второй четверти.


2. Определим знак исходной функции.

Во второй четверти синус положительный (\(\displaystyle {\bf +}\)).

 

3. Определим, какая будет функция.

Так как к аргументу \(\displaystyle -30^\circ\) прибавляем \(\displaystyle 180^\circ,\) то функция не меняется

Значит, 

\(\displaystyle \sin (180^\circ-30^\circ) =\sin 30^\circ {\small .}\)


Аналогично рассмотрим второй множитель:

\(\displaystyle \cos \color{blue}{120^ \circ}=\cos ({\color{blue}{180^\circ-60^\circ} })=-\cos 60^\circ{\small .}\)

Подробно о применении формулы 

Подставим полученные результаты в исходное выражение:

\(\displaystyle 12 \color{blue}{\sin 150^ \circ}\cdot \color{green}{\cos 120^ \circ}=12 \color{blue}{\sin 30^ \circ}\cdot \color{green}{(-\cos 60^ \circ)}=-12\sin 30^ \circ \cdot \cos 60^ \circ {\small .}\)


Подставим табличные значения:

Подсказка - табличные значения

\(\displaystyle -12 \color{blue}{\sin 30^ \circ} \cdot \color{green}{\cos 60^ \circ}= -12 \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} \color{green}{\cdot \frac{1}{2}}=-\frac{12}{2 \cdot 2}=-3{\small .}\)


Таким образом, верна следующая цепочка равенств:

 \(\displaystyle \begin{aligned}12 \sin 150^ \circ \cos 120^ \circ&=12 \sin (180^ \circ-30^ \circ) \cos (180^ \circ-60^ \circ)=\\[5px]&=12 \sin 30^ \circ (-\cos 60^ \circ )=-12 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}=-3{\small .}\end{aligned}\)


Ответ: \(\displaystyle -3 {\small.} \)