Решите неравенство:
\(\displaystyle \frac{ x-1}{ x-2 }> 0 \)
\(\displaystyle x \in \)
Найдем корни числителя \(\displaystyle x-1 \) и знаменателя \(\displaystyle x-2{\small : } \)
\(\displaystyle x-1=0 \) или \(\displaystyle x-2=0{ \small ,} \)
\(\displaystyle x=1 \) или \(\displaystyle x=2{\small .} \)
Знак неравенства строгий, поэтому точки соответствующих корней числителя и знаменателя на числовой прямой изображаются выколотыми:
Получили три интервала:
\(\displaystyle (-\infty;1){ \small ,} \, (1;2)\) и \(\displaystyle (2;+\infty){\small .}\)
Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x-2}\) на каждом из интервалов.
- Для интервала \(\displaystyle (-\infty;1)\) выберем \(\displaystyle x=0{\small :}\)\(\displaystyle f(0)=\frac{0-1}{0-2}>0{\small .}\)Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (-\infty;1){\small.}\)
- Для интервала \(\displaystyle (1;2)\) выберем \(\displaystyle x=1{,}5{\small :}\)\(\displaystyle f(1{,}5)=\frac{1{,}5-1}{2{,}5-2}<0{\small .}\)Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (1;2){\small .}\)
- Для интервала \(\displaystyle (2;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=3{\small :}\)\(\displaystyle f(3)=\frac{3-2}{3-2}>0{\small .}\)Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (2;+\infty){\small .}\)
В итоге получаем:
Так как решения неравенства \(\displaystyle \frac{ x-1}{ x-2 }> 0\) соответствуют промежуткам, где функция положительна, то
\(\displaystyle (-\infty;1) \cup(2;+\infty)\) – искомое решение.
Ответ: \(\displaystyle x \in (-\infty;1) \cup(2;+\infty){\small .}\)