Skip to main content

Теория: Решение рациональных неравенств-1 (в стадии наполнения)

Задание

Решите неравенство:

\(\displaystyle \frac{ x-2}{ x-3 }\le 0 \)


\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Найдем корни числителя \(\displaystyle x-2 \) и знаменателя \(\displaystyle x-3{\small : } \)

\(\displaystyle x-2=0 \) или \(\displaystyle x-3=0{ \small ,} \)

\(\displaystyle x=2 \) или \(\displaystyle x=3{\small .} \)


Поскольку знак неравенства нестрогий, то 

  • все нули числителя, которые не обращают в ноль знаменатель, обозначаются закрашенными;
  • все нули знаменателя всегда обозначаются выколотыми.

Так как \(\displaystyle x=2\) обращает в ноль числитель и не обращает в ноль знаменатель, то она обозначается закрашенной. Поскольку \(\displaystyle x=3 \) обращает в ноль знаменатель, то она обозначается выколотой:

Получили три интервала:

\(\displaystyle (-\infty;2){ \small ,} \, (2;3)\) и \(\displaystyle (3;+\infty){\small .}\)


Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{x-2}{x-3}\) на каждом из интервалов.
 

  • Для интервала \(\displaystyle (-\infty;2)\) выберем \(\displaystyle x=0{\small :}\) 
    \(\displaystyle f(0)=\frac{0-2}{0-3}>0{\small .}\)
    Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (-\infty;2){\small .}\)
     
  • Для интервала \(\displaystyle (2;3)\) выберем \(\displaystyle x=2{,}5{\small :}\) 
    \(\displaystyle f(2{,}5)=\frac{2{,}5-2}{2{,}5-3}<0{\small .}\)
    Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (2;3){\small .}\)
     
  • Для интервала \(\displaystyle (3;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=4{\small :}\) 
    \(\displaystyle f(4)=\frac{4-2}{4-3}>0{\small .}\)
    Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (3;+\infty){\small .}\)

В итоге получаем:


Так как решения неравенства  \(\displaystyle \frac{ x-2}{ x-3 }\le 0\) соответствуют промежуткам, где функция отрицательна, и включают граничные невыколотые точки, то

\(\displaystyle [2;3)\) – искомое решение.


Ответ: \(\displaystyle x \in [2;3){\small .}\)