Skip to main content

Теория: 06 Решение рациональных неравенств-3 (в стадии наполнения)

Задание

Решите неравенство:

\(\displaystyle \frac{ x-2}{ x-4}\geqslant \frac{ x-3}{ x-5}{\small .}\)

\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Чтобы решить неравенство методом интервалов, преобразуем неравенство так, чтобы с одной стороны был ноль:

\(\displaystyle \frac{x-2}{x-4}\geqslant \frac{x-3}{x-5}{\small , } \)

\(\displaystyle \frac{x-2}{x-4}-\frac{x-3}{x-5}\geqslant 0{\small . } \)

Преобразуем левую часть неравенства к виду рациональной дроби.

Получаем следующее неравенство:

\(\displaystyle \frac{-2}{(x-4)(x-5)}\geqslant 0{\small. } \)

 

Найдем корни знаменателя \(\displaystyle (x-4)(x-5){\small : } \)

\(\displaystyle (x-4)(x-5)=0 { \small ,}\)

\(\displaystyle x-4=0 \) или \(\displaystyle x-5=0{ \small ,} \)

\(\displaystyle x=4 \) или \(\displaystyle x=5{\small .} \)


Поскольку знак неравенства нестрогий, то 

  • все нули числителя, которые не обращают в ноль знаменатель, обозначаются закрашенными;
  • все нули знаменателя всегда обозначаются выколотыми.

Так как \(\displaystyle x=4\) и \(\displaystyle x=5\) обращают в ноль знаменатель, то они обозначаются выколотыми точками:

Получили три интервала:

\(\displaystyle (-\infty;4){ \small ,} \, (4;5)\) и \(\displaystyle (5;+\infty){\small .}\)
 

Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{-2}{(x-4)(x-5)}\) на каждом из интервалов.

В итоге получаем:


Так как решения неравенства  \(\displaystyle \frac{ -2}{(x-4)(x-5) }\geqslant 0\) соответствуют промежуткам, где функция положительна, и включают невыколотые граничные точки (таких точек в данном случае нет), то

\(\displaystyle (4;5)\) – искомое решение.


Ответ: \(\displaystyle x \in (4;5){\small .}\)