Skip to main content

Теория: Определение неизвестных параметров уравнения гиперболы по асимптотам (в стадии наполнения)

Задание

На рисунке изображена гипербола \(\displaystyle y=\frac{k}{x+b}+c{\small.}\) Найдите \(\displaystyle k{\small,}\) \(\displaystyle b\) и \(\displaystyle c{\small.}\)

\(\displaystyle k=\)
2
, \(\displaystyle b=\)
3
и \(\displaystyle c=\)
-1
Решение

Сначала найдем \(\displaystyle \color{green}{c}\) и \(\displaystyle \color{blue}{b}{\small.}\)

Из данного вида гиперболы следует, что

  • горизонтальная асимптота гиперболы задается уравнением \(\displaystyle y=\color{green}{-1}{\small;}\)
  • вертикальная асимптота гиперболы задается уравнением \(\displaystyle x=\color{blue}{-3}{\small.}\)

Значит, уравнение гиперболы имеет вид:

\(\displaystyle y=\frac{k}{x+\color{blue}{3}}\color{green}{-1}{\small.}\)

То есть \(\displaystyle \color{blue}{b}=\color{blue}{3}\) и \(\displaystyle \color{green}{c}=\color{green}{-1}{\small.}\)

 
Далее найдем \(\displaystyle \color{red}{k}{\small.}\)

Гипербола проходит через точку \(\displaystyle (-1;\, 0){\small.}\) Значит, если в уравнение гиперболы подставить \(\displaystyle x=1\) и \(\displaystyle y=0,\) то получится верное равенство:

\(\displaystyle 0=\frac{\color{red}{k}}{-1+3}-1{\small.}\)

Откуда находим \(\displaystyle \color{red}{k}{\small:}\)

\(\displaystyle \frac{\color{red}{k}}{2}=1\,\,\Big|\cdot2{\small,}\)

\(\displaystyle \color{red}{k}=2{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle k=2{\small,}\) \(\displaystyle b=5\) и \(\displaystyle c=-1{\small.}\)