Найдите наибольшее значение функции \(\displaystyle f(x)=16\tg x-16x+4\pi -5\) на отрезке \(\displaystyle \left[-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]{\small.}\)
Запишем область определения для функции \(\displaystyle f(x)=16\tg x-16x+4\pi -5{\small.}\)
Так как \(\displaystyle \tg x\) определен только тогда, когда \(\displaystyle x\,\cancel{=}\,\frac{\pi}{2}+\pi t{\small,}\,\,k\in\mathbb{Z}{\small,}\) то область определения имеет вид
\(\displaystyle x\,\cancel{=}\,\frac{\pi}{2}+\pi t{\small,}\,\,t\in\mathbb{Z}{\small.}\)
1) Найдем производную функции \(\displaystyle f(x)=16\tg x-16x+4\pi -5{\small.}\)
Перепишем \(\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{16}{\cos^2 x}-16\) в виде дроби:
\(\displaystyle \frac{16}{\cos^2 x}-16=\frac{16-16\cos^2 x}{\cos^2 x}{\small.}\)
2) Найдем корни числителя и знаменателя \(\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{16-16\cos^2 x}{\cos^2 x}{\small.}\)
3) Из корней числителя и знаменателя \(\displaystyle f^{\prime}(x)\) выберем корни, лежащие на отрезке \(\displaystyle \left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi }{4}\right]{\small.}\)
4) Отметим на числовой прямой корни числителя и знаменателя производной. Учитывая область определения функции \(\displaystyle f(x){\small,}\) получаем:
Так как требуется найти наибольшее значение функции на отрезке \(\displaystyle \left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi }{4}\right]{\small ,}\) то получаем:
Найдем знаки производной на интервалах \(\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2};\,0\right)\) и \(\displaystyle \left(0;\, \frac{\pi}{2}\right){\small.}\)
- на интервалах \(\displaystyle \color{green}{\left(-\frac{\pi}{2};\,0\right)}\) и \(\displaystyle \color{blue}{\left(0;\, \frac{\pi}{2}\right)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)>0{\small.}\)
Отмечая знаки производной на картинке, получаем:
Значит, на интервалах \(\displaystyle {\left(-\frac{\pi}{4};\,0\right)}\) и \(\displaystyle {\left(0;\, \frac{\pi}{4}\right)}\) производная положительна:
5) Определим промежутки возрастания и убывания функции \(\displaystyle f(x)=16\tg x-16x+4\pi -5{\small ,}\) пользуясь правилом.
Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)\) существует и \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)>0{\small,}\) то
функция \(\displaystyle f(x)\) возрастает \(\displaystyle \nearrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)
Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)\) существует и \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)<0{\small,}\) то
функция \(\displaystyle f(x)\) убывает \(\displaystyle \searrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)
Зная знаки производной \(\displaystyle f^{\prime}(x){\small,}\) определим промежутки возрастания и убывания \(\displaystyle f(x){\small:}\)
6) Схематично изобразим график \(\displaystyle f(x)\) на отрезке \(\displaystyle \left[-\frac{\pi}{4};\,\frac{\pi }{4} \right]{\small:}\)
Видно, что функция \(\displaystyle f(x)\) возрастает на всем отрезке \(\displaystyle \left[-\frac{\pi}{4};\,\frac{\pi }{4} \right]{\small.}\)
Значит, наибольшее значение достигается на правом конце, в точке \(\displaystyle x=\frac{\pi}{4}{\small.}\) Вычислим его:
\(\displaystyle f\left(\frac{\pi}{4}\right)=16\tg \frac{\pi}{4}-16\cdot\frac{\pi}{4}+4\pi -5=16\cdot1-\cancel{4\pi}+\cancel{4\pi}-5=11{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 11{\small.}\)