Skip to main content

Теория: Условная вероятность

Задание

Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма выпавших очков не превысила число \(\displaystyle 3{\small .} \) Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых.

0,42
Решение

Пусть событие \(\displaystyle A\) – сумма выпавших очков  превысила число \(\displaystyle 3\) ровно за два броска.

    Начнём строить граф возможных исходов, учитывая результаты первого броска кости.

    Обозначим зелёным цветом исходы, для которых наступление события \(\displaystyle A\) возможно, красным – невозможно.

    Получаем:

    Введем события:

    • \(\displaystyle B_{1}\) – при первом броске выпало \(\displaystyle 1{\small , }\)
    • \(\displaystyle B_{2}\) – при первом броске выпало \(\displaystyle 2{\small , }\)
    • \(\displaystyle B_{3}\) – при первом броске выпало \(\displaystyle 3\) очка.

      Тогда вероятность наступления каждого из событий \(\displaystyle B_{1}{ \small ,}\,B_2\) и \(\displaystyle B_{3}\) равна

      \(\displaystyle P(B_{1})=P(B_{2})=P(B_{3})=\frac{1}{6}{\small . }\)

      Обозначим на рисунке эти вероятности:


      Продолжим строить граф возможных исходов.

      Будем его достраивать по результатам второго броска кости.  

      Опять обозначим зелёным цветом исходы, для которых событие \(\displaystyle A\) наступает, красным – не наступает.

      Получаем:

      Найдем условную вероятность \(\displaystyle P_{B_{1}}(A)\) – вероятность наступления события \(\displaystyle A\) при условии, что событие \(\displaystyle B_{1}\)  произошло.

      \(\displaystyle B_{1}\) – это выпадение в первом броске \(\displaystyle 1\) очка. Значит, для наступления \(\displaystyle A\) во втором броске должно выпасть \(\displaystyle 3\),  \(\displaystyle 4\),  \(\displaystyle 5\) или \(\displaystyle 6{\small . }\)

      Тогда

      \(\displaystyle P_{B_{1}}(A)=\frac{4}{6}{\small . }\)

      Аналогично,

      \(\displaystyle P_{B_{2}}(A)=\frac{5}{6}\) и \(\displaystyle P_{B_{3}}(A)=\frac{6}{6}{\small . }\)


      Подсчитаем вероятность одновременного наступления событий \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B_1{\small . }\)

      На рисунке это выглядит как подсчет вероятности для первой ветки графа:

      Тогда

      \(\displaystyle P(\)в первом броске выпало \(\displaystyle 1\) очко и сумма больше \(\displaystyle 3)=P(B_{1}) \cdot P_{B_{1}}(A)=\frac{1}{6}\cdot\frac{4}{6}=\frac{4}{36}{\small . }\)

      Аналогично получаем:

      \(\displaystyle P(\)в первом броске выпало \(\displaystyle 2\) очка и сумма больше \(\displaystyle 3)=P(B_{2}) \cdot P_{B_{2}}(A)=\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{5}{36}{\small . }\)

      \(\displaystyle P(\)в первом броске выпало \(\displaystyle 3\) очка и сумма больше \(\displaystyle 3)=P(B_{3}) \cdot P_{B_{3}}(A)=\frac{1}{6}\cdot\frac{6}{6}=\frac{6}{36}{\small . }\)


      Осталось найти полную вероятность наступления события \(\displaystyle А{\small . }\)

      Для этого необходимо просуммировать вероятности, полученные для каждой ветки нашего графа.

      Тогда 

      \(\displaystyle P(A)=\frac{4}{36}+\frac{5}{36}+\frac{6}{36}=\frac{15}{36}\approx0{,}42{\small . }\)

       

      Ответ: \(\displaystyle 0{,}42{\small .}\)