Skip to main content

Теория: Формула полной вероятности и рекурсия

Задание

При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в \(\displaystyle 86\%\) случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в \(\displaystyle 94\%\) случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у \(\displaystyle 10\%\) пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание? Результат округлите до сотых.

0,43
Решение

Обозначим события:

  • \(\displaystyle A_1\) – пациент болен,
  • \(\displaystyle A_2\) – пациент здоров,
  • \(\displaystyle B_1\) – результат теста положителен,
  • \(\displaystyle B_2\) – результат теста отрицателен.

Запишем вероятности событий.

Посчитаем вероятности \(\displaystyle P(B_1)\) и \(\displaystyle P(B_2){\small :}\)

  • по условию \(\displaystyle P(B_1)=0{,}1\) (вероятность того, что результат теста положителен);
  • тогда \(\displaystyle P(B_2)=1-0{,}1=0{,}9\) (вероятность того, что результат теста отрицателен).

По условию задачи известно:

  • Если пациент болен, то вероятность положительного теста равна \(\displaystyle 0{,}86\small.\) Значит, вероятность отрицательного теста у больного человека равна \(\displaystyle 1-0{,}86=0{,}14\small.\) 

То есть

\(\displaystyle P_{A_1}(B_1)=0{,}86\) (условная вероятность "результат теста положителен, если пациент болен");

\(\displaystyle P_{A_1}(B_2)=0{,}14 \) (условная вероятность "результат теста отрицателен, если пациент болен").

  • Если пациент здоров, то результат теста будет отрицательным с вероятностью \(\displaystyle 0{,}94\small.\) Значит, вероятность положительного теста у здорового человека равна  \(\displaystyle 1-0{,}94=0{,}06\small.\)

То есть

\(\displaystyle P_{A_2}(B_2)=0{,}94\)  (условная вероятность "результат теста отрицателен, если пациент здоров");

\(\displaystyle P_{A_2}(B_1)=0{,}06\) (условная вероятность "результат теста положителен, если пациент здоров").

В задаче требуется найти условную вероятность события "пациент болен , если результат теста оказался положительным". То есть необходимо вычислить \(\displaystyle P_{B_1}(A_1)\small.\)

Определим событие \(\displaystyle C\) – "пациент болен и результат теста положителен".

Запишем это событие \(\displaystyle C\) в двух вариантах:

  1. "пациент болен и получил положительный результат теста" 
  2. "пациент получил положительный результат теста и болен".

Тогда

  1. \(\displaystyle P(C)=P(\text{\scriptsize результат теста положительный и пациент болен})=P(B_1) \cdot P_{B_1}(A_1)\small;\)
  2. \(\displaystyle P(C)=P(\text{\scriptsize пациент болен и результат теста положительный})=P(A_1) \cdot P_{A_1}(B_1) {\small.}\)

То есть

\(\displaystyle P(B_1) \cdot P_{B_1}(A_1)=P(A_1) \cdot P_{A_1}(B_1) {\small.}\)

Откуда

\(\displaystyle P_{B_1}(A_1)=\frac{P(A_1) \cdot P_{A_1}(B_1)}{P(B_1)} {\small.}\)

 

Значения вероятностей \(\displaystyle P_{A_1}(B_1)\) и \(\displaystyle P(B_1)\) известны. Необходимо найти значение \(\displaystyle P(A_1)\).

Используем для нахождения известное значение \(\displaystyle P(B_1){ \small ,}\) расписав его по формуле полной вероятности.

Введем обозначения:

  • пусть\(\displaystyle P(A_1)=x\) (вероятность того, что пациент болен);
  • тогда \(\displaystyle P(A_2)=1-x\) (вероятность того, что пациент здоров).

Построим для события \(\displaystyle B_1 \) для наглядности граф возможных исходов, на котором обозначим все вероятности:


 

По графу видим, что  для положительного теста благоприятны два пути:


 

  1. Первый путь (левая ветка графа) соответствует событию "пациент болен и тест положителен". Запишем вероятность этого события:

    \(\displaystyle \\ \)\(\displaystyle P(\text{\scriptsize пациент болен и результат теста положительный})=\color{red}{P(A_1) \cdot P_{A_1}(B_1)} {\small.}\) \(\displaystyle \\ \)

  2. Второй путь (правая ветка графа) соответствует событию "пациент здоров и тест положителен". Запишем вероятность этого события:

    \(\displaystyle \\ \) \(\displaystyle P(\text{\scriptsize пациент здоров и результат теста положительный})=\color{green}{P(A_2) \cdot P_{A_2}(B_1)} {\small.}\) \(\displaystyle \\ \)

Тогда полная вероятность события \(\displaystyle B_1\)(результат теста положителен) равна сумме этих вероятностей:

\(\displaystyle P(B_1)=\color{red}{P(A_1) \cdot P_{A_1}(B_1)}+\color{green}{P(A_2) \cdot P_{A_2}(B_1)} \small.\) \(\displaystyle \\ \)

Подставим числовые значения в полученную формулу:

\(\displaystyle 0{,}1= x \cdot 0{,}86+(1-x) \cdot 0{,}06\small.\)

Решая это уравнение, найдем \(\displaystyle x\small:\)

\(\displaystyle 0{,}1=0{,}86\cdot x+0{,}06-0{,}06\cdot x\small,\)

\(\displaystyle 0{,}8 \cdot x=0{,}04\small,\)

\(\displaystyle x=\frac{0{,}04}{0{,}8}=\frac{1}{20}={0{,}05}\small.\)

Значит,

\(\displaystyle P(A_1)=0{,}05\small. \)


Теперь можно вычислить искомую вероятность события "пациент болен, если результат теста оказался положительным":

\(\displaystyle P_{B_1}(A_1)=\frac{P(A_1) \cdot P_{A_1}(B_1)}{P(B_1)}=\frac{0{,}05 \cdot 0{,}86}{0{,}1}=0{,}43 {\small.}\)


Ответ:  \(\displaystyle 0{,}43 \small.\)