Skip to main content

Теория: 18 Углы с касательными (в стадии наполнения)

Задание

Угол \(\displaystyle ACO\) равен \(\displaystyle 24^\circ .\) Его сторона \(\displaystyle CA\) касается окружности с центром в точке \(\displaystyle O ,\) а сторона \(\displaystyle CO\) пересекает окружность в точках \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle D\) (см. рис.). Найдите градусную меру дуги \(\displaystyle AD\) окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

\(\displaystyle ^{\circ}\)

Решение

По свойству касательной к окружности

Правило

Свойство касательной к окружности

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

получаем:

\(\displaystyle \angle CAO=90^{\circ}{\small .} \)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle CAO {\small .}\)

Так как сумма углов треугольника равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small ,}\) то

\(\displaystyle \angle AOC=180^{\circ}-\angle CAO-\angle ACO=180^{\circ}-90^{\circ}-24^{\circ}=66^{\circ} {\small .}\)

 Углы \(\displaystyle AOC\) и \(\displaystyle AOD\) смежные. Так как сумма смежных углов равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small ,}\) то

\(\displaystyle \angle AOD=180^{\circ}-\angle AOC=180^{\circ}-66^{\circ}=114^{\circ} {\small .}\)

Поскольку дуга \(\displaystyle AD\) меньше полуокружности, то по определению градусной меры дуги окружности

Правило

Градусная мера дуги окружности

Если дуга \(\displaystyle AB\) окружности меньше или равна полуокружности, то ее градусная мера равна градусной мере центрального угла \(\displaystyle AOB,\) опирающегося на дугу \(\displaystyle AB.\)

Если дуга \(\displaystyle AB\) окружности больше полуокружности, то ее градусная мера равна \(\displaystyle 360^{\circ}-\angle AOB.\)

получаем:

\(\displaystyle {{\overset{\smile}{AD}}=\angle AOD}=114^{\circ}{\small .} \)

Ответ: \(\displaystyle 114^{\circ} {\small .}\)