Skip to main content

Теория: 15 Нахождение площади трапеции

Задание

Основания прямоугольной трапеции равны \(\displaystyle 10\) и \(\displaystyle 4{\small .}\) Её площадь равна \(\displaystyle 14\sqrt{3}{\small .}\) Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

30
Решение

Пусть \(\displaystyle ABCD\) – прямоугольная трапеция с прямыми углами \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) и тупым углом \(\displaystyle C{\small .}\) Тогда ее основания \(\displaystyle BC=4\) и \(\displaystyle AD=10{\small,}\) большая боковая сторона \(\displaystyle CD{\small .}\)

Опустим высоту \(\displaystyle CH{\small .}\) 

В четырехугольнике \(\displaystyle ABCH\) все углы прямые, поэтому он является прямоугольником. Значит, \(\displaystyle AH=BC=4{\small .}\)

Тогда 

\(\displaystyle HD=AD-AH=10-4=6{\small .}\)


Так как площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту,  

\(\displaystyle {S_{ABCD}} = \frac{{AD}+{BC}}{2}\cdot {CH} {\small ,}\)

то 

\(\displaystyle 14\sqrt{3} = \frac{{10}+{4}}{2}\cdot {CH} {\small ,}\)

\(\displaystyle 14\sqrt{3} = 7 \cdot{CH} {\small ,}\)

откуда

\(\displaystyle {CH}=\frac{14\sqrt{3}}{7}=2\sqrt{3} {\small .}\)
 

Найдем острый угол \(\displaystyle CDH\) трапеции из прямоугольного треугольника \(\displaystyle CHD.\) 

Нам известны катеты \(\displaystyle CH=2\sqrt{3}\) и \(\displaystyle HD=6{\small .}\) 
По теореме Пифагора

\(\displaystyle CD^2=CH^2+DH^2=(2\sqrt{3})^2+6^2=12+36=48{\small .}\)

Поскольку длина отрезка положительна, то

\(\displaystyle CD=\sqrt{48}=4\sqrt{3}{\small .}\)

Так как гипотенуза \(\displaystyle CD\) в два раза больше катета \(\displaystyle CH{\small ,}\) то против катета \(\displaystyle CH\) лежит угол \(\displaystyle 30^{\circ}{\small .}\) Значит,

\(\displaystyle \angle CDH=30^{\circ}{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 30^{\circ}{\small .}\)