Skip to main content

Теория: 09 Трапеция (основные свойства)

Задание

В равнобедренной трапеции \(\displaystyle ABCD\) на основании \(\displaystyle AD\) выбрали точку \(\displaystyle K\) так, что прямая \(\displaystyle CK\) параллельна \(\displaystyle AB\small,\) угол \(\displaystyle A\) равен \(\displaystyle 68^\circ\small.\) Чему равен угол \(\displaystyle KCD \ \small?\) Ответ дайте в градусах.

44
Решение

При пересечении параллельных прямых \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CK\) секущей \(\displaystyle AD\) соответственные углы равны, значит 

\(\displaystyle \angle CKD=\angle BAD=68^{\circ}\small.\)

В четырехугольнике \(\displaystyle ABCK\) противоположные стороны параллельны, поэтому \(\displaystyle ABCK\) – параллелограмм.

Тогда \(\displaystyle CK=AB\) как противоположные стороны параллелограмма.

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle CKD\small.\)

Так как \(\displaystyle CK=AB=CD\small,\\\) то \(\displaystyle \triangle CKD\) – равнобедренный.

По свойству равнобедренного треугольника 

\(\displaystyle \angle CDK=\angle CKD=68^{\circ}\small.\)

Следовательно,  

\(\displaystyle \angle KCD=180^{\circ} - \angle CDK-\angle CKD=\)

\(\displaystyle =180^{\circ} -68^{\circ} -68^{\circ} =44^{\circ}\small. \)

 

Ответ: \(\displaystyle 44^\circ \small.\)

 

Замечание

Изучение треугольника \(\displaystyle CKD\) позволяет получить следующее свойство трапеции:

[pr for="Свойство равнобедренной трапеции"]

Углы при основаниях равнобедренной трапеции равны:

\(\displaystyle \angle A=\angle D\small,\)  \(\displaystyle \angle B = \angle C\small.\)

[/pr]

Равенство \(\displaystyle \angle A=\angle D\) вытекает из того, что треугольник \(\displaystyle CKD\) – равнобедренный.

Углы  \(\displaystyle \angle B\) и \(\displaystyle \angle C\) равны, так как \(\displaystyle \angle B = 180^{\circ}-\angle A\) и \(\displaystyle \angle C = 180^{\circ}-\angle D\small.\)