Основания равнобедренной трапеции равны \(\displaystyle 7\) и \(\displaystyle 51\small.\) Тангенс острого угла равен \(\displaystyle \dfrac{5}{11}\small.\) Найдите площадь трапеции.
Пусть \(\displaystyle AD=51\) и \(\displaystyle BC=7\) – основания, \(\displaystyle AB=CD\) – боковые стороны равнобедренной трапеции \(\displaystyle ABCD\small.\) По свойству равнобедренной трапеции углы при основании равны. Значит, \(\displaystyle \tg \angle A=\tg \angle D=\frac{5}{11}\small.\) Требуется найти площадь трапеции. Проведем высоты \(\displaystyle BH \) и \(\displaystyle CK \) трапеции. |  |
Поскольку основания трапеции параллельны, а высоты трапеции перпендикулярны основаниям, \(\displaystyle BH K C \) – прямоугольник. Тогда \(\displaystyle H K =BC=7 \small.\)
Прямоугольные треугольники \(\displaystyle ABH\) и \(\displaystyle DCK\) равны по гипотенузе \(\displaystyle AB=CD\) и катету \(\displaystyle BH=CK\small.\) Значит, \(\displaystyle AH=DK\) и \(\displaystyle AH=DK=\frac{AD-BC}{2}\small,\) \(\displaystyle AH=\frac{51-7}{2}=\frac{44}{2}=22\small.\) |  |
Высоту \(\displaystyle BH \) трапеции найдем из прямоугольного треугольника \(\displaystyle ABH\small.\) Нам известны \(\displaystyle \tg \angle BAH=\frac{5}{11}\) и прилежащий к острому углу \(\displaystyle BAH\) катет \(\displaystyle AH=22\small.\) Так как \(\displaystyle \tg \angle BAH=\frac{BH}{AH}\small,\) то \(\displaystyle BH={AH}\cdot {\tg \angle BAH}={22}\cdot {\frac{5}{11}}=\frac{22\cdot 5}{11}=2\cdot 5=10\small.\) |  |
Так как площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то
\(\displaystyle S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH=\frac{51+7}{2}\cdot 10=\frac{58}{2}\cdot 10={29}\cdot 10=290\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 290 \small.\)