На рисунке изображены графики функций вида \(\displaystyle f(x)=kx+b{\small,}\) которые пересекаются в точке \(\displaystyle T{\small.}\) Найдите абсциссу точки \(\displaystyle T{\small.}\)
Чтобы найти абсциссу точки пересечения прямых:
- составим уравнения данных прямых;
- составим и решим систему уравнений, которой удовлетворяет точка пересечения прямых.
Обозначим точки, отмеченные на прямых, как показано на рисунке. Определим координаты этих точек.
1. Найдем коэффициенты \(\displaystyle k \) и \(\displaystyle b \) в уравнении прямой \(\displaystyle \color{green}{AB}{ \small .}\)
Прямая проходит через точки \(\displaystyle \color{green}A(\color{green}{-1};\color{green}{5})\) и \(\displaystyle \color{green}B(\color{green}{-2};\color{green}{1}){ \small .}\)
Значит,
- при подстановке координат \(\displaystyle x=\color{green}{-1}\) и \(\displaystyle y=\color{green}{5}\) в уравнение \(\displaystyle y=k{x} +b\) получим верное равенство;
- при подстановке координат \(\displaystyle x=\color{green}{-2}\) и \(\displaystyle y=\color{green}{1}\) в уравнение \(\displaystyle y=k{x} +b\) получим верное равенство.
Подставляя, получаем:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{green}{5}&=k\cdot (\color{green}{-1}) + b{ \small ,}\\\color{green}{1}&=k\cdot (\color{green}{-2}) + b{ \small ;}\end{aligned}\right. \)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}5&=-k+ b{ \small ,}\\1&=-2k+ b{ \small .}\end{aligned}\right. \)
Решим эту систему.
Значит, уравнение прямой \(\displaystyle \color{green}{AB}\) имеет вид
\(\displaystyle \color{green}{y=4x+9}{ \small .}\)
2. Найдем коэффициенты \(\displaystyle k \) и \(\displaystyle b \) в уравнении прямой \(\displaystyle \color{blue}{CD}{ \small .}\)
Прямая проходит через точки \(\displaystyle \color{blue}C(\color{blue}{3};\color{blue}{1})\) и \(\displaystyle \color{blue}D(\color{blue}{1};\color{blue}{-2}){ \small .}\)
Значит,
- при подстановке координат \(\displaystyle x=\color{blue}{3}\) и \(\displaystyle y=\color{blue}{1}\) в уравнение \(\displaystyle y=k{x} +b\) получим верное равенство;
- при подстановке координат \(\displaystyle x=\color{blue}{1}\) и \(\displaystyle y=\color{blue}{-2}\) в уравнение \(\displaystyle y=k{x} +b\) получим верное равенство.
Подставляя, получаем:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{1}&=k\cdot \color{blue}{3}+ b{ \small ,}\\\color{blue}{-2}&=k\cdot \color{blue}{1}+ b{ \small ;}\end{aligned}\right. \)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}1&=3k+ b{ \small ,}\\-2&=k+ b{ \small .}\end{aligned}\right. \)
Решим эту систему.
Значит, уравнение прямой \(\displaystyle \color{blue}{CD}\) имеет вид
\(\displaystyle \color{blue}{y=\frac{3}{2}x-\frac{7}{2}}{ \small .}\)
3. Составим и решим систему уравнений, которой удовлетворяет точка \(\displaystyle T\) пересечения данных прямых.
Точка \(\displaystyle T(x;y)\) лежит одновременно на прямой \(\displaystyle \color{green}{y=4x+9}\) и на прямой \(\displaystyle \color{blue}{y=1{,}5x-3{,}5}{ \small .}\)
Поэтому её координаты удовлетворяют системе уравнений
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}y&=4x+9{ \small ,}\\y&=\frac{3}{2}x-\frac{7}{2}{ \small .}\end{aligned}\right. \)
Решим её.
Таким образом точка пересечения данных прямых – точка \(\displaystyle T(-5;-11){ \small .}\)
В ответе требуется записать абсциссу точки \(\displaystyle T{ \small :} \phantom{1}x=-5{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle -5 {\small .}\)