Skip to main content

Теория: Элементарные логарифмические уравнения

Задание

Решите уравнение (если корней два или более, то в ответ запишите наименьший из них):

\(\displaystyle \log_{7}(9-3x)+\log_{7}(3-2x)=4\log_{7}3{\small .}\)

\(\displaystyle x=\)
-1,5
Решение

Область допустимых значений (ОДЗ):

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}9-3x &> 0{\small ,}\\3-2x &> 0{\small .}\end{aligned}\right.\)  \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x &< \frac{9}{3}{\small ,}\\x &< \frac{3}{2}{\small ;}\end{aligned}\right. \)   \(\displaystyle x<\frac{3}{2}{\small .}\)

По свойству логарифма

Правило

\(\displaystyle \color{red}n\log_a b=\log_a b^\color{red}n\)             \(\displaystyle (b>0,a>0,a \, \cancel= \,1 )\)

\(\displaystyle 4\log_{7}3= \log_{7} 3^4= \log_{7} 81{\small .}\)

Тогда уравнение
\(\displaystyle \log_{7}(9-3x)+\log_{7}(3-2x)=4\log_{7}3\)
 
можно переписать в виде
\(\displaystyle \log_{7}(9-3x)+\log_{7}(3-2x)=\log_{7} 81{\small .}\)

Используя свойство

Правило

\(\displaystyle \log_a \color{blue}x + \log_a \color{red}y=\log_a (\color{blue}x\cdot \color{red}y)\)             \(\displaystyle x,y>0\) и \(\displaystyle a>0, a\,\cancel{=}\, 1{\small ,}\)

получаем

\(\displaystyle \log_{7}\color{blue}{(9-3x)}+\log_{7}\color{red}{(3-2x)}=\log_{7} (\color{blue}{(9-3x)}\cdot\color{red}{(3-2x)}){\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle \log_{7}(9-3x)+\log_{7}(3-2x)=\log_{7} 81{\small ,}\)

\(\displaystyle \log_{7}((9-3x)(3-2x))=\log_{7} 81{\small ,}\)

\(\displaystyle (9-3x)(3-2x)= 81{\small ,}\)

\(\displaystyle 27-18x-9x+6x^2= 81{\small ,}\)

\(\displaystyle 6x^2-27x-54= 0{\small ,} \phantom{1} \text{\large|} \color{red}{:3}\)

\(\displaystyle 2x^2-9x-18= 0{\small .}\)

Решим квадратное уравнение:

\(\displaystyle {\rm D}= (-9)^2-4\cdot2\cdot(-18)=81+144=225=15^2{\small ,}\)

\(\displaystyle x_1=\frac{-(-9)-\sqrt{15^2}}{2\cdot2}=\frac{9-15}{4}=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2}{\small ,}\)

\(\displaystyle x_2=\frac{-(-9)+\sqrt{15^2}}{2\cdot2}=\frac{9+15}{4}=\frac{24}{4}=6{\small .}\)

Подставляем найденные значения \(\displaystyle x\) в ОДЗ: \(\displaystyle x<\frac{3}{2}{\small :}\)

\(\displaystyle -\frac{3}{2}<\frac{3}{2}{\small ,}\) то есть \(\displaystyle x=-\frac{3}{2}=-1{,}5\) удовлетворяет ОДЗ;

\(\displaystyle 6\color{red}>\frac{3}{2}{\small ,}\) то есть \(\displaystyle x=6\) не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: \(\displaystyle x=-1{,}5{\small .} \)