Skip to main content

Теория: Задачи на проценты и обратную пропорцию

Задание

Илья собрал в лесу \(\displaystyle 30\) грибов, из которых \(\displaystyle 90\%\) оказались белыми. Затем он нашел еще несколько подберезовиков, после чего процент белых грибов стал равен \(\displaystyle 60\%\). Сколько всего грибов собрал в лесу Илья?

грибов

Решение

Пусть всего Илья собрал в лесу \(\displaystyle x\) грибов. Тогда можно записать соотношение:

 

\(\displaystyle 90\%\) белых грибов             в \(\displaystyle 30\) грибах,
\(\displaystyle 60\%\) белых грибов             в \(\displaystyle x\) грибах.

 

Здесь соотносятся величины: \(\displaystyle {\rm A}\) – общее число грибов и \(\displaystyle {\rm B}\%\) – процент белых грибов в общем числе грибов.

Правило

Признак обратной пропорции для задач с процентами

Величины \(\displaystyle {\rm A}\) и \(\displaystyle {\rm B}\%\) обратно пропорциональны, если доля, равная \(\displaystyle {\rm B}\%\) от числа \(\displaystyle {\rm A}\), остается постоянной.

Другими словами, \(\displaystyle \frac{{\rm A}\cdot {\rm B}}{100}\) является постоянным числом при любых изменениях величин \(\displaystyle {\rm A}\) и \(\displaystyle {\rm B}\%\).

 

По условию задачи, \(\displaystyle 90\%\) от \(\displaystyle 30\) грибов равно количеству белых грибов в исходном числе грибов. В свою очередь, \(\displaystyle 60\%\) от \(\displaystyle x\) грибов тоже равно количеству белых грибов в новом числе грибов. И поскольку количество белых грибов в общем числе грибов не меняется, то, по признаку обратной пропорции, данные величины обратно пропорциональны.

 

Также можно использовать определение обратной пропорции. Данные величины обратно пропорциональны, так как при при увеличении общего числа собранных грибов в несколько раз (за счет дополнительно найденных подберезовиков) процентная доля белых грибов в нем уменьшается во столько же раз (так как, по условию, количество белых грибов в общем числе грибов не изменяется).

 

Правило

Обратная пропорция

Пусть дана обратная пропорция:

\(\displaystyle a\)               \(\displaystyle b\),

\(\displaystyle c\)               \(\displaystyle d\).

Тогда можно записать следующее равенство:

\(\displaystyle a \cdot b=c \cdot d\).

Тогда получаем уравнение:

\(\displaystyle 90\cdot 30=60\cdot x\);

\(\displaystyle x=\frac{90 \cdot 30}{60}=45\).

Ответ: \(\displaystyle 45\) грибов.