Skip to main content

Теория: Задачи на прямую, обратную пропорции и проценты

Задание

После добавления в тесто массой \(\displaystyle 1200\) грамм дополнительно \(\displaystyle 300\) граммов молока процент содержания в нем пшеничной муки составил \(\displaystyle 40\%\). Сколько процентов муки было в тесте первоначально?

\(\displaystyle \%\)

Решение

Пусть первоначально в тесте было \(\displaystyle x\%\) муки. Тогда можно записать следующее соотношение:

 

\(\displaystyle x\%\) муки             в \(\displaystyle 1200\) граммах теста,
\(\displaystyle 40\%\) муки             в \(\displaystyle 1200+300 = 1500\) граммах теста.

 

Здесь соотносятся величины: \(\displaystyle {\rm A}\) – количество граммов теста и \(\displaystyle {\rm B}\%\) – процентное содержание муки в этом тесте.

Правило

Признак обратной пропорции для задач с процентами

Величины \(\displaystyle {\rm A}\) и \(\displaystyle {\rm B}\%\) обратно пропорциональны, если доля, равная \(\displaystyle {\rm B}\%\) от числа \(\displaystyle {\rm A}\), остается постоянной.

Другими словами, \(\displaystyle \frac{{\rm A}\cdot {\rm B}}{100}\) является постоянным числом при любых изменениях величин \(\displaystyle {\rm A}\) и \(\displaystyle {\rm B}\%\).

 

По условию задачи, \(\displaystyle x\%\) от \(\displaystyle 1200\) граммов равно количеству грамм муки в исходном тесте. В свою очередь, \(\displaystyle 40\%\) от \(\displaystyle 1500\) граммов тоже равно количеству грамм муки в новом тесте. И поскольку количество грамм муки в тесте не меняется, то, по признаку обратной пропорции, данные величины обратно пропорциональны.

 

Также можно использовать определение обратной пропорции. Данные величины обратно пропорциональны, так как при увеличении общей массы теста в несколько раз (за счет добавления в него молока) процентная доля муки в нем уменьшается во столько же раз (так как, по условию, масса муки в тесте не изменяется).

Правило

Обратная пропорция

Пусть дана обратная пропорция:

\(\displaystyle a\)               \(\displaystyle b\),

\(\displaystyle c\)               \(\displaystyle d\).

Тогда можно записать следующее равенство:

\(\displaystyle a \cdot b=c \cdot d\).

Тогда получаем уравнение:

\(\displaystyle x\cdot 1200=40\cdot 1500\);

\(\displaystyle x=\frac{40 \cdot 1500}{1200}=50\).

Ответ: \(\displaystyle 50\%\).