Skip to main content

Теория: Числовая прямая и модуль числа

Задание

Выберите на рисунке точки, которые находятся на расcтоянии \(\displaystyle 3\) от точки \(\displaystyle A\).

Решение

Прежде всего, отметим, что существуют две точки, которые находятся на расстоянии \(\displaystyle 3\) (то есть на расстоянии трех единичных отрезков) от точки \(\displaystyle A\): одна из них находится от точки \(\displaystyle A\) слева, а другая – справа.

 

Замечание / комментарий

Напомним, что запись \(\displaystyle A(x)\) означает, что точка \(\displaystyle A\) имеет координату \(\displaystyle x\). Аналогичным образом обозначаются координаты любой точки на числовой прямой.

 

Если отложить от точки \(\displaystyle A(1)\) вправо \(\displaystyle 3\) единичных отрезка, то мы получим точку с координатой \(\displaystyle 1+3=4\). Это точка \(\displaystyle C(4)\).

Если отложить от точки \(\displaystyle A(1)\) влево \(\displaystyle 3\) единичных отрезка, то мы получим точку с координатой \(\displaystyle 1-3=-2\). Это точка \(\displaystyle D(-2)\).

 

Таким образом, точки \(\displaystyle С(4)\) и \(\displaystyle D(-2)\) являются двумя единственными точками, находящимися на расстоянии \(\displaystyle 3\) от точки \(\displaystyle A\).

 

Проверим наше решение, используя геометрическую интерпретацию модуля числа.

Расстояние между двумя точками равно модулю разности их координат. Значит, зная координату каждой из заданных точек, а также координату точки \(\displaystyle A\), можно найти расcтояние от точки \(\displaystyle A\) до каждой из этих точек:

Расcтояние между точками \(\displaystyle A(1)\) и \(\displaystyle B(-1)\) равно \(\displaystyle |-1-1|=2\).

Расcтояние между точками \(\displaystyle A(1)\) и \(\displaystyle C(4)\) равно \(\displaystyle |4-1|=3\).

Расcтояние между точками \(\displaystyle A(1)\) и \(\displaystyle D(-2)\) равно \(\displaystyle |-2-1|=3\).

Расcтояние между точками \(\displaystyle A(1)\) и \(\displaystyle E(5)\) равно \(\displaystyle |5-1|=4\).

Расcтояние между точками \(\displaystyle A(1)\) и \(\displaystyle F(3)\) равно \(\displaystyle |3-1|=2\).

 

Таким образом, снова убеждаемся в том, что из всех точек только точки \(\displaystyle C(4)\) и \(\displaystyle D(-2)\) находятся на расcтоянии \(\displaystyle 3\) от точки \(\displaystyle A\).

 

Ответ: \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle D\).