Skip to main content

Теория: Нахождение квадрата суммы - 1

Задание

Найдите квадрат суммы:
 

z^{\, 2}+2z+1^2=\big(\big)^2

Решение

Первый способ.

Нам известно, что выражение z^{\, 2}+2z+1^2 является полным квадратом суммы.

Правило

Квадрат суммы

Для любых чисел a, \, b верно

a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2.

Перепишем наше выражение так, чтобы формула квадрата суммы была видна явно:

z^{\, 2}+2z+1^2=z^{\, 2}+2\cdot z \cdot 1+1^2.

Отсюда видно, что наше выражение в точности совпадает с квадратом суммы при a=z и b=1.

Поэтому 

z^{\, 2}+2z+1^2=(z+1)^2.

Ответ: (z+1)^2.


 

Второй способ (нахождение квадрата суммы по квадратам).

Нам известно, что выражение z^{\,2}+2z+1^2 является полным квадратом суммы.

Правило

Квадрат суммы

Для любых чисел a, \, b верно

a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2.

Следовательно,

z^{\,2}+2z+1^2=a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}

для некоторых a и b, которые надо найти.

Приравняем выражения, стоящие во вторых степенях. Например,

\color{blue}{a^{\, 2}}+2ab+\color{green}{b^{\, 2}}=\color{blue}{z^{\,2}}+2z+\color{green}{1^2},

\color{blue}{a^{\,2}}=\color{blue}{z^{\, 2}} и  \color{green}{b^{\,2}}=\color{green}{1^2}.

Тогда a может быть z или -z, b может быть 1 или -1 (см. решение уравнения X^{\,2}=a^{\,2}).

Выберем значения параметров a и b с одинаковыми знаками, например, со знаком "+":

a=z,

b=1.

Так как мы приравняли квадраты, то надо обязательно проверить, совпадают ли удвоенные произведения

a^{\, 2}+\color{red}{2ab}+b^{\, 2}=z^{\,2}+\color{red}{2z}+1^2,

2ab\overset{?}{=}2z

при подстановке вместо a параметра z, а вместо b числа 1.

Подставляя, получаем:

2ab=2\cdot z\cdot 1,

2ab=2z.

Мы получили верное равенство, что означает правильность равенств a=z и b=1.

Поскольку

z^{\,2}+2z+1^2=a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2},

z^{\,2}+2z+1^2=(a+b\,)^2,

то, подставляя a=z и b=1 в скобки справа, получаем:

z^{\,2}+2z+1^2=(z+1)^2.

Ответ: (z+1)^2.