Skip to main content

Теория: Подобные одночлены, сумма и разность одночленов

Задание

Выберите одночлены, подобные данному:
 

\(\displaystyle y\cdot \frac{1}{2}y^{\,7}\cdot y{\small .}\)

Решение

Напомним определение подобных одночленов:

Определение

Подобие одночленов

Два ненулевых одночлена называются подобными, если после приведения их к стандартному виду они совпадают или отличаются только числовыми коэффициентами.

Используя определение, нам нужно выбрать из предложенных одночленов те, которые подобны одночлену \(\displaystyle y\cdot \frac{1}{2}y^{\,7}\cdot y{\small .}\)

Поскольку одночлен \(\displaystyle y\cdot \frac{1}{2}y^{\,7}\cdot y\) записан не в стандартном виде, то мы должны сначала привести его к стандартному виду:

\(\displaystyle \color{green}{y}\cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\color{green}{y^{\,7}}\cdot \color{green}{y}= \color{blue}{\frac{1}{2}}\cdot (\,\color{green}{y}\cdot\color{green}{y^{\,7}}\cdot \color{green}{y}\,)= \color{blue}{\frac{1}{2}}\cdot \color{green}{y^{\,1+7+1}}= \color{blue}{\frac{1}{2}}\color{green}{y^{\,9}} {\small .}\)

 

Далее мы должны привести к стандартному виду каждый из предложенных для сравнения одночленов, а затем проверить, отличаются ли они от одночлена \(\displaystyle \frac{1}{2}y^{\,9}\) только коэффициентом.

 

1. Одночлен \(\displaystyle 13y^{\, 7}\cdot y \cdot 2 \cdot y{\small .}\)

Приведем его к стандартному виду:

\(\displaystyle \color{blue}{13}\color{green}{y^{\, 7}}\cdot \color{green}{y} \cdot \color{blue}{2} \cdot \color{green}{y}= (\color{blue}{13}\cdot \color{blue}{2})\cdot (\,\color{green}{y^{\, 7}}\cdot \color{green}{y} \cdot \color{green}{y}\,)= \color{blue}{26}\color{green}{y^{\,7+1+1}}= \color{blue}{26}\color{green}{y^{\,9}} {\small .}\)

Если бы одночлены \(\displaystyle 26y^{\,9}\) и \(\displaystyle \frac{1}{2}y^{\,9}\) отличались только числовыми коэффициентами, то они были бы равны после отбрасывания этих коэффицентов:

\(\displaystyle \color{blue}{26}y^{\,9} \rightarrow y^{\,9}{\small ,}\)

\(\displaystyle \color{blue}{\frac{1}{2}}y^{\,9} \rightarrow y^{\,9}{\small .}\)

В обоих случаях мы получили \(\displaystyle y^{\,9}{\small ,}\) и, значит, одночлены \(\displaystyle \frac{1}{2}y^{\,9}\) и \(\displaystyle 13y^{\, 7}\cdot y \cdot 2 \cdot y\) подобны.

 

2. Одночлен \(\displaystyle 0{,}3y^{\,8}{\small .}\)

Этот одночлен уже записан в стандартном виде, значит, нужно только сравнить его с одночленом \(\displaystyle \frac{1}{2}y^{\,9}{\small .}\)

Если бы одночлены \(\displaystyle 0{,}3y^{\,8}\) и \(\displaystyle \frac{1}{2}y^{\,9}\) отличались только числовыми коэффициентами, то они были бы равны после отбрасывания этих коэффицентов:

\(\displaystyle \color{blue}{0{,}3}y^{\,8} \rightarrow y^{\,8},\)

\(\displaystyle \color{blue}{\frac{1}{2}}y^{\,9} \rightarrow y^{\,9}{\small .}\)

Однако \(\displaystyle y^{\,\color{green}{8}} \not=y^{\, \color{green}{9}}, \) так как у одночленов отличаются показатели степеней.

Таким образом, одночлены \(\displaystyle \frac{1}{2}y^{\,9}\) и \(\displaystyle 0{,}3y^{\,8}\) не подобны.

 

3. Выражение \(\displaystyle \frac{1}{y^{\,8}}{\small .}\)

Данное выражение не является одночленом, поскольку содержит дробь, в знаменателе которой стоит переменная. Значит, это выражение не может быть подобно ни одному одночлену. И, следовательно, не подобно одночлену \(\displaystyle \frac{1}{2}y^{\,9}{\small .}\)

 

4. Одночлен \(\displaystyle y\cdot \frac{1}{2}y^{\,7}\cdot y^{\,2}\)

Приведем его к стандартному виду:

\(\displaystyle \color{green}{y}\cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\color{green}{y^{\,7}}\cdot \color{green}{y^{\,2}}= \color{blue}{\frac{1}{2}}\cdot (\,\color{green}{y}\cdot \color{green}{y^{\,7}}\cdot \color{green}{y^{\,2}})= \color{blue}{\frac{1}{2}}\color{green}{y^{\,1+7+2}}= \color{blue}{\frac{1}{2}}\color{green}{y^{\,10}}{\small .}\)

Если бы одночлены \(\displaystyle \frac{1}{2}y^{\,10}\) и \(\displaystyle \frac{1}{2}y^{\,9}\) отличались только числовыми коэффициентами, то они были бы равны после отбрасывания этих коэффицентов:

\(\displaystyle \color{blue}{\frac{1}{2}}y^{\,10} \rightarrow y^{\,10},\)

\(\displaystyle \color{blue}{\frac{1}{2}}y^{\,9} \rightarrow y^{\,9}{\small .}\)

Однако \(\displaystyle y^{\,\color{green}{10}} \not=y^{\, \color{green}{9}}, \) так как одночлены отличаются показателями степеней.

Таким образом, одночлены \(\displaystyle \frac{1}{2}y^{\,9}\) и \(\displaystyle y\cdot \frac{1}{2}y^{\,7}\cdot y^{\,2}\) не подобны.

 

5. Одночлен \(\displaystyle y\cdot 0{,}3y^{\, 6}\cdot 100 \cdot y^{\,2}{\small .}\)

Приведем его к стандартному виду:

\(\displaystyle \color{green}{y}\cdot \color{blue}{0{,}3}\color{green}{y^{\, 6}}\cdot \color{blue}{100}\cdot \color{green}{y^{\,2}}= (\color{blue}{0{,}3}\cdot \color{blue}{100})\cdot (\,\color{green}{y}\cdot \color{green}{y^{\, 6}}\cdot \color{green}{y^{\,2}})= \color{blue}{30}\color{green}{y^{\,1+6+2}}= \color{blue}{30}\color{green}{y^{\,9}}{\small .}\)

Если бы одночлены \(\displaystyle 30y^{\,9}\) и \(\displaystyle \frac{1}{2}y^{\,9}\) отличались только числовыми коэффициентами, то они были бы равны после отбрасывания этих коэффицентов:

\(\displaystyle \color{blue}{30}y^{\,9} \rightarrow y^{\,9}{\small ,}\)

\(\displaystyle \color{blue}{\frac{1}{2}}y^{\,9} \rightarrow y^{\,9}{\small .}\)

В обоих случаях мы получили \(\displaystyle y^{\,9}{\small ,}\) и, значит, одночлены \(\displaystyle \frac{1}{2}y^{\,9}\) и \(\displaystyle y\cdot 0{,}3y^{\, 6}\cdot 100 \cdot y^{\,2}\) подобны.