Skip to main content

Теория: Нахождение куба разности

Задание

Найдите куб разности:
 

(5t\,)^3-3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2-7^3=\big(\big)^3

Решение

Первый способ.

Известно, что выражение (5t\,)^3-3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2-7^3 является полным кубом разности.

Правило

Куб разности

Для любых чисел a, b верно

(a-b\,)^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}.

Сравнивая равенства

\begin{align}
\begin{array}{r}
\color{blue}{a}^{\,3}\\
(\color{blue}{5t}\,)^3
\end{array}
\kern{-0.2em}
\begin{array}{l}
-\\
-
\end{array}
\kern{-0.3em}
\begin{array}{c}
3\color{blue}{a}^{\,2}\color{green}{b}\\
3\cdot (\color{blue}{5t}\,)^2\cdot \color{green}{7}
\end{array}
\kern{-0.2em}
\begin{array}{l}
+\\
+
\end{array}
\kern{-0.3em}
\begin{array}{c}
3\color{blue}{a}\color{green}{b}^{\,2}\\
3\cdot \color{blue}{5t}\cdot \color{green}{7}^2
\end{array}
\begin{array}{l}
-\color{green}{b}^{\,3}\\
-\color{green}{7}^3
\end{array}
\begin{array}{l}
=(\color{blue}{a}-\color{green}{b}\,)^3\\
=(\,\color{blue}{?\,}-\,\color{green}{?\,})^3,
\end{array}
\end{align}

видим, что они в точности совпадают, если a=5t и b=7.

Поэтому 

(5t\,)^3-3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2-7^3=(5t-7)^3.


Ответ: ({\bf 5t-7})^3.

 

Второй способ.

Известно, что выражение (5t\,)^3-3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2-7^3 является полным кубом разности.

Значит,

(5t\,)^3-3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2-7^3=(a-b\,)^3

для некоторых a и b, которые надо найти.

Напомним формулу "куб разности".

Правило

Куб разности

Для любых чисел a, b верно

(a-b\,)^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}.

Следовательно,

(5t\,)^3-3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2-7^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}.

Приравняем выражения, стоящие в третьих степенях. Например,

\color{blue}{a^{\, 3}}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-\color{green}{b^{\, 3}}=\color{blue}{(5t\,)^3}-3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2-\color{green}{7^3},

\color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(5t\,)^3} и \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{7^3}.

Тогда можно предположить, что a=5t и b=7.

1. Очевидно, что два равенства \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(5t\,)^3} и \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{7^3} выполняются.

2. Далее надо проверить равенство утроенных произведений

-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}=-3\cdot (5t\,)^{\,2}\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2

при a=5t и b=7.

Подставляем a=5t и b=7 и получаем

-3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2=-3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2,

верное равенство.

 

В итоге мы получили равенство

(5t\,)^3-3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2-7^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}

при a=5t и b=7.

Следовательно,

(5t\,)^3-3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2-7^3=(a-b\,)^3

при a=5t и b=7, то есть

(5t\,)^3-3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2-7^3=(5t-7)^3.


Ответ: ({\bf 5t-7})^3.