Skip to main content

Теория: Разложение на множители, метод группировки (* доп. раздел)

Задание

Дополните правильные варианты группировки слагаемых и разложите на множители в произведение двучлена и трехчлена:
 

\(\displaystyle \color{red}{10x^{\,13}}+20x^{\,5}+\color{red}{15x^{\, 9}}+\color{blue}{6x^{\,4}}+4x^{\,8}+\color{blue}{8}=\)
\(\displaystyle =(\color{red}{10x^{\,13}}+\color{red}{15x^{\, 9}}+\)
20x^5
\(\displaystyle )+(\)
4x^8
\(\displaystyle +\color{blue}{6x^{\,4}}+\color{blue}{8})=\)
\(\displaystyle =\big(\)
2x^8+3x^4+4
\(\displaystyle \big)\big(\)
5x^5+2
\(\displaystyle \big)\)
Решение

Запишем данный многочлен в стандартном виде:

\(\displaystyle 10x^{\,13}+20x^{\,5}+15x^{\, 9}+6x^{\,4}+4x^{\,8}+8=10x^{\,13}+15x^{\, 9}+4x^{\,8}+20x^{\,5}+6x^{\,4}+8{\small .}\)

Нам изначально известно, что данный многочлен является произведением двух многочленов, в одном из которых только три слагаемых, а в другом – два. Поэтому будем группировать по три слагаемых и найдем недостающие одночлены в данной правильной группировке:

\(\displaystyle \color{red}{10x^{\,13}}+20x^{\,5}+\color{red}{15x^{\, 9}}+\color{blue}{6x^{\,4}}+4x^{\,8}+\color{blue}{8}=(\color{red}{10x^{\,13}}+\color{red}{15x^{\, 9}}+{\bf ?}\,)+(\, {\bf ?}+\color{blue}{6x^{\,4}}+\color{blue}{8}){\small .}\)
 

Так как только два одночлена \(\displaystyle 20x^{\,5}\) и \(\displaystyle 4x^{\,8}\) не используются в данной группировке, то существуют всего два возможных варианта:

1) \(\displaystyle 10x^{\,13}+20x^{\,5}+15x^{\, 9}+6x^{\,4}+4x^{\,8}+8=(10x^{\,13}+15x^{\, 9}+\color{red}{20x^{\,5}})+(\color{blue}{4x^{\,8}}+6x^{\,4}+8){\small ,}\)

2) \(\displaystyle 10x^{\,13}+20x^{\,5}+15x^{\, 9}+6x^{\,4}+4x^{\,8}+8=(10x^{\,13}+15x^{\, 9}+\color{red}{4x^{\,8}})+(\color{blue}{20x^{\,5}}+6x^{\,4}+8){\small .}\)

 

Будем рассматривать каждый из предложенных вариантов, пока не встретим разложение в произведение.

1. Рассмотрим первый вариант:

\(\displaystyle 10x^{\,13}+20x^{\,5}+15x^{\, 9}+6x^{\,4}+4x^{\,8}+8=(10x^{\,13}+15x^{\, 9}+\color{red}{20x^{\,5}})+(\color{blue}{4x^{\,8}}+6x^{\,4}+8){\small .}\)

 

Вынесем общий множитель для выражения в первой скобке \(\displaystyle (10x^{\,13}+15x^{\, 9}+20x^{\,5}){\small .}\)

  1. Наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle 10,\ 15\) и \(\displaystyle 20\) равен \(\displaystyle НОД(10,15,20)=5{\small .}\)
  2. Переменная \(\displaystyle x\) в наименьшей степени (выбираем из \(\displaystyle x^{\,13},\, x^{\,9}\) и \(\displaystyle x^{\,5}\)) равна  \(\displaystyle x^{\,5}{\small .}\)

Значит, общий множитель для \(\displaystyle (10x^{\,13}+15x^{\, 9}+20x^{\,5})\) равен \(\displaystyle 5x^{\, 5}{\small .}\) Вынося его за скобки, получаем:

\(\displaystyle 10x^{\,13}+15x^{\, 9}+20x^{\,5}=5x^{\, 5}(2x^{\,8}+3x^{\, 4}+4){\small .}\)

 

Вынесем общий множитель для выражения во второй скобке \(\displaystyle (4x^{\,8}+6x^{\,4}+8){\small .}\) Так как последнее слагаемое – это число, то можно вынести только общий числовой множитель.

Наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle 4,\ 6\) и \(\displaystyle 4\) равен \(\displaystyle НОД(4,6,4)=2{\small .}\) Поэтому

\(\displaystyle 4x^{\,8}+6x^{\,4}+8=2(2x^{\,8}+3x^{\,4}+4){\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle 10x^{\,13}+15x^{\, 9}+20x^{\,5}=5x^{\, 5}\color{blue}{(2x^{\,8}+3x^{\, 4}+4)}\)

и

\(\displaystyle 4x^{\,8}+6x^{\,4}+8=2\color{blue}{(2x^{\,8}+3x^{\,4}+4)}{\small .}\)

Оба выражения имеют общий множитель \(\displaystyle \color{blue}{(2x^{\,8}+3x^{\,4}+4)}{\small .}\) Вынесем его за скобки:

\(\displaystyle 5x^{\, 5}\color{blue}{(2x^{\,8}+3x^{\, 4}+4)}+2\color{blue}{(2x^{\,8}+3x^{\,4}+4)}=\color{blue}{(2x^{\,8}+3x^{\,4}+4)}(5x^{\,5}+2){\small .}\)

Мы получили разложение на множители, следовательно, нет необходимости рассматривать второй вариант группировки слагаемых в скобках.

Таким образом,

\(\displaystyle \begin{array}{rl} 10x^{\,13}+20x^{\,5}+15x^{\, 9}+6x^{\,4}+4x^{\,8}+8 &=(10x^{\,13}+15x^{\, 9}+{\bf 20}{\pmb x}^{\,{\bf 5}})+({\bf 4}{\pmb x}^{\,{\bf 8}}+6x^{\,4}+8)=\\ &=({\bf 2}{\pmb x}^{\,{\bf 8}}+{\bf 3}{\pmb x}^{\,{\bf 4}}+{\bf 4})({\bf 5}{\pmb x}^{\,{\bf 5}}+{\bf 2}). \end{array} \)

Ответ: \(\displaystyle (2x^{\,8}+3x^{\,4}+4)(5x^{\,5}+2){\small .}\)