Skip to main content

Теория: Преобразование выражений с корнями

Задание

Упростите выражение:

\(\displaystyle \sqrt{27b}-\sqrt{\frac{3}{4}b}+\sqrt{\frac{12}{25}b}=\)
2,9\sqrt{3b}
Решение

В данном выражении \(\displaystyle \sqrt{27b}-\sqrt{\frac{3}{4}b}+\sqrt{\frac{12}{25}b}\)  выделим под каждым корнем множители, равные квадрату либо дроби, либо натурального числа, и вынесем их из-под корня. Тогда:

\(\displaystyle \begin{aligned}\sqrt{27b}-\sqrt{\frac{3}{4}b}+\sqrt{\frac{12}{25}b}&= \sqrt{9\cdot 3b}-\sqrt{\frac{ 1}{ 4}\cdot 3b}+\sqrt{ \frac{ 4}{ 25}\cdot 3b} =\\[10px]&=\sqrt{3^2\cdot 3b}-\sqrt{\left(\frac{ 1}{ 2}\right)^2\cdot 3b}+\sqrt{ \left(\frac{ 2}{ 5}\right)^2\cdot 3b} =\\[10px]&=3\sqrt{ 3b}- \frac{ 1}{ 2}\sqrt{ 3b}+\frac{ 2}{ 5}\sqrt{ 3b} {\small . }\end{aligned} \)

Сложим коэффициенты при \(\displaystyle \sqrt{ 3b}{\small . } \) Получаем:

\(\displaystyle \begin{aligned}3\sqrt{ 3b}- \frac{ 1}{ 2}\sqrt{ 3b}+\frac{ 2}{ 5}\sqrt{ 3b}&= \color{blue}{ 3}\sqrt{ 3b}- \color{green}{ \frac{ 1}{ 2}}\sqrt{ 3b}+ \color{red}{ \frac{ 2}{ 5}}\sqrt{ 3b} = \left(\color{blue}{ 3}-\color{green}{ \frac{ 1}{ 2}}+ \color{red}{ \frac{ 2}{ 5}} \right)\sqrt{ 3b}=\\[10px]&=\frac{ 30-5+4}{ 10}\sqrt{ 3b}= \frac{ 29}{ 10}\sqrt{ 3b}= 2{,}9\sqrt{ 3b} {\small . }\end{aligned}\)


Ответ: \(\displaystyle 2{,}9\sqrt{ 3b}{\small . } \)