Skip to main content

Теория: Преобразование выражений с корнями

Задание

Перемножьте скобки и упростите выражение:

\(\displaystyle (\sqrt{2}+3)(1-\sqrt{2})=\)
1-2\sqrt{2}
Решение

Сначала умножим каждый член первой скобки на вторую скобку:

\(\displaystyle (\sqrt{2}+3)(1-\sqrt{2})= \sqrt{ 2}(1-\sqrt{2})+3(1-\sqrt{2}){\small . } \)

Теперь раскроем скобки, умножив каждое слагаемое в первых скобках на \(\displaystyle \sqrt{ 2}{\small , } \) а во вторых скобках на \(\displaystyle 3{\small . } \) Получаем:

\(\displaystyle \sqrt{ 2}(1-\sqrt{2})+3(1-\sqrt{2})= \color{blue}{ \sqrt{ 2}}(1-\sqrt{2})+\color{green}{ 3}(1-\sqrt{2})= \color{blue}{ \sqrt{ 2}}\cdot 1- \color{blue}{ \sqrt{ 2}}\cdot \sqrt{ 2}+ \color{green}{ 3}\cdot 1-\color{green}{ 3}\cdot \sqrt{ 2} {\small . }\)

Перемножая, получаем:

\(\displaystyle \sqrt{ 2}\cdot 1- \sqrt{ 2}\cdot \sqrt{ 2}+ 3\cdot 1-3\cdot \sqrt{ 2}= \sqrt{ 2}- \left(\sqrt{ 2}\right)^2+ 3-3\sqrt{ 2}=\sqrt{ 2}- 2+ 3-3\sqrt{ 2} {\small . }\)

Далее приведем подобные:

\(\displaystyle \color{blue}{\sqrt{ 2}}- \color{green}{ 2}+ \color{green}{ 3}-3\color{blue}{\sqrt{ 2}}= \color{green}{ 1}-2\color{blue}{\sqrt{ 2}} {\small . }\)

Таким образом,

\(\displaystyle (\sqrt{2}+3)(1-\sqrt{2})=1-2\sqrt{ 2}{\small . } \)

Ответ: \(\displaystyle 1-2\sqrt{ 2}{\small . } \)