Перемножьте скобки и упростите выражение:
Сначала умножим каждый член первой скобки на вторую скобку:
\(\displaystyle (2\sqrt{a}+\sqrt{b}\,)(4\sqrt{b}+\sqrt{a}\,)= 2\sqrt{a}\, (4\sqrt{b}+\sqrt{a}\,)+\sqrt{b}\,(4\sqrt{b}+\sqrt{a}\,){\small . } \)
Теперь раскроем скобки, умножив каждое слагаемое в первых скобках на \(\displaystyle 2\sqrt{a} {\small , } \) а во вторых скобках на \(\displaystyle \sqrt{b}{\small . } \) Получаем:
\(\displaystyle \color{blue}{ 2\sqrt{a} }\,(4\sqrt{b}+\sqrt{a}\,)+\color{green}{ \sqrt{b}}\,(4\sqrt{b}+\sqrt{a}\,)= \color{blue}{ 2\sqrt{a} }\cdot 4\sqrt{b}+ \color{blue}{ 2\sqrt{a} }\cdot \sqrt{a} + \color{green}{ \sqrt{ b} }\cdot 4\sqrt{b}+\color{green}{ \sqrt{ b} }\cdot \sqrt{a} {\small . }\)
Перемножая, получаем:
\(\displaystyle \begin{aligned} 2\sqrt{a} \cdot 4\sqrt{b}+ 2\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} &+\sqrt{ b} \cdot 4\sqrt{b}+\sqrt{ b} \cdot \sqrt{a} = \\&=(2\cdot 4)\cdot \sqrt{ a}\cdot \sqrt{b} + 2\cdot \left(\sqrt{a} \right)^2+4\cdot \left(\sqrt{ b}\right)^2 +\sqrt{ b} \cdot \sqrt{a} =\\&=8\sqrt{a\cdot b} + 2\cdot a+4\cdot b+\sqrt{ b\cdot a} {\small . }\end{aligned}\)
Далее приведем подобные:
\(\displaystyle \begin{aligned}8\color{blue}{\sqrt{a\cdot b}} + 2\cdot a+4\cdot b+\color{blue}{\sqrt{ b\cdot a}} = 8\color{blue}{\sqrt{ ab}}+2a+4b+\color{blue}{\sqrt{ ab}}=9\color{blue}{\sqrt{ ab}}+2a+4b {\small . }\end{aligned}\)
Таким образом,
\(\displaystyle (2\sqrt{a}+\sqrt{b}\,)(4\sqrt{b}+\sqrt{a}\,)=9\sqrt{ ab}+2a+4b {\small . }\)
Ответ: \(\displaystyle 9\sqrt{ ab}+2a+4b {\small . } \)