Skip to main content

Теория: Преобразование выражений с корнями

Задание

Перемножьте скобки и упростите выражение:

\(\displaystyle (2\sqrt{a}+\sqrt{b})(4\sqrt{b}+\sqrt{a})-\sqrt{ab}+3\sqrt{a}=\)
2a+4b+8\sqrt{ab}+3\sqrt{a}
Решение

Сначала умножим каждый член первой скобки на вторую скобку:

\(\displaystyle (2\sqrt{a}+\sqrt{b}\,)(4\sqrt{b}+\sqrt{a}\,)-\sqrt{ab}+3\sqrt{a}= 2\sqrt{a}\, (4\sqrt{b}+\sqrt{a}\,)+\sqrt{b}\,(4\sqrt{b}+\sqrt{a}\,)-\sqrt{ab}+3\sqrt{a}{\small . } \)

Теперь раскроем скобки, умножив каждое слагаемое в первых скобках на \(\displaystyle 2\sqrt{a} {\small , } \) а во вторых скобках на \(\displaystyle \sqrt{b}{\small . } \) Получаем:

\(\displaystyle \begin{aligned} \color{blue}{ 2\sqrt{a} }\,(4\sqrt{b}+\sqrt{a}\,)&+\color{green}{ \sqrt{b}}\,(4\sqrt{b}+\sqrt{a}\,)-\sqrt{ab}+3\sqrt{a}=\\&=\color{blue}{ 2\sqrt{a} }\cdot 4\sqrt{b}+ \color{blue}{ 2\sqrt{a} }\cdot \sqrt{a} + \color{green}{ \sqrt{ b} }\cdot 4\sqrt{b}+\color{green}{ \sqrt{ b} }\cdot \sqrt{a}-\sqrt{ab}+3\sqrt{a} {\small . }\end{aligned}\)

Перемножая, получаем:

\(\displaystyle \begin{aligned} 2\sqrt{a} \cdot 4\sqrt{b}+ 2\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} &+\sqrt{ b} \cdot 4\sqrt{b}+\sqrt{ b} \cdot \sqrt{a} -\sqrt{ab}+3\sqrt{a}= \\&=(2\cdot 4)\cdot \sqrt{ a}\cdot \sqrt{b} + 2\cdot \left(\sqrt{a} \right)^2+4\cdot \left(\sqrt{ b}\right)^2 +\sqrt{ b} \cdot \sqrt{a}-\sqrt{ab}+3\sqrt{a} =\\&=8\sqrt{a\cdot b} + 2\cdot a+4\cdot b+\sqrt{ b\cdot a}-\sqrt{ab}+3\sqrt{a} =\\&=8\sqrt{ ab}+2a+4b+\sqrt{ ab}-\sqrt{ab}+3\sqrt{a}{\small . }\end{aligned}\)

Далее приведем подобные:

\(\displaystyle \begin{aligned}8\color{blue}{\sqrt{ ab}}+2a+4b+\color{blue}{\sqrt{ ab}}-\color{blue}{\sqrt{ ab}}+3\sqrt{a}=8\color{blue}{\sqrt{ ab}}+2a+4b+3\sqrt{ a} {\small . }\end{aligned}\)

Таким образом,

\(\displaystyle (2\sqrt{a}+\sqrt{b}\,)(4\sqrt{b}+\sqrt{a}\,)-\sqrt{ab}+3\sqrt{a}=8\sqrt{ ab}+2a+4b+3\sqrt{ a} {\small . } \)


Ответ: \(\displaystyle 8\sqrt{ ab}+2a+4b+3\sqrt{ a} {\small . } \)