Skip to main content

Теория: Элементарные квадратные уравнения

Задание

Найдите все корни уравнения или оставьте окна ввода пустыми, если уравнение не имеет (действительных) решений:
 

\(\displaystyle -3x^{\,2}=-75\)

\(\displaystyle 10y^{\,2}=-250\)

\(\displaystyle x_1=\) и \(\displaystyle x_2=\)

\(\displaystyle y_1=\) и \(\displaystyle y_2=\)

 

Решение

Правило

Уравнение \(\displaystyle x^{\,2}=a\)

  • имеет два решения, если \(\displaystyle a>0{\small :}\)

\(\displaystyle x= \sqrt{a}\) или \(\displaystyle x= -\sqrt{a} \,{\small ; } \)

  • имеет одно решение (два совпадающих решения), если \(\displaystyle a= 0{\small :}\)

\(\displaystyle x=0 {\small ; }\)

  • не имеет решений, если \(\displaystyle a<0{\small .}\)

1. Приведем уравнение \(\displaystyle -3x^{\,2}=-75\) к простейшему виду (для которого сформулировано правило).

Разделим обе части уравнения на коэффициент, стоящий перед \(\displaystyle x^{\,2}\) (\(\displaystyle \color{red}{-3}x^{\,2}=-75\)), то есть на \(\displaystyle -3{\small :}\)

\(\displaystyle \frac{ -3x^{\,2}}{ -3} =\frac{ -75}{ -3 }{\small ; }\)

\(\displaystyle x^{\,2}=25{\small . } \)

Применим правило к уравнению \(\displaystyle x^{\,2}=25{\small . }\)

Так как \(\displaystyle 25>0{\small ,}\) то уравнение имеет два решения:

\(\displaystyle x= \sqrt{25}\) или \(\displaystyle x= -\sqrt{25}{\small , } \)

следовательно,

\(\displaystyle {\bf x=5}\) или \(\displaystyle {\bf x= -5}{\small . } \)


2. Приведем уравнение \(\displaystyle 10y^{\,2}=-250\) к простейшему виду (для которого сформулировано правило).

Разделим обе части уравнения на коэффициент, стоящий перед \(\displaystyle y^{\,2}\) (\(\displaystyle \color{red}{10}y^{\,2}=-250\)), то есть на \(\displaystyle 10{\small :}\)

\(\displaystyle \frac{ 10y^{\,2}}{ 10} =\frac{ -250}{ 10 }{\small ; }\)

\(\displaystyle y^{\,2}=-25{\small . } \)

Применим правило к уравнению \(\displaystyle y^{\,2}=-25{\small . }\)

Так как \(\displaystyle -25<0{\small ,}\) то уравнение не имеет (действительных) решений.