Skip to main content

Теория: Дискриминант и корни квадратного уравнения

Задание
Квадратное уравнение

\(\displaystyle x^2+10x+25=0\)

\(\displaystyle x^2+3x-1=0\)

\(\displaystyle 2x^2-5x+10=0\)

Дискриминант

\(\displaystyle {\rm D}=\)

\(\displaystyle {\rm D}=\) \(\displaystyle {\rm D}=\)
Число решений

 

Решение

Вычислим по порядку в каждом из уравнений дискриминанты и определим по их значению число решений.

 \(\displaystyle x^2+10x+25=0\)

Перепишем уравнение, выделив его коэффициенты явно:

\(\displaystyle x^2+10x+25=\color{blue}{ 1}\cdot x^2+\color{green}{ 10}x+\color{red}{ 25}{\small . }\)

Тогда \(\displaystyle \color{blue}{ a}=\color{blue}{ 1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ 10}, \color{red}{ c}=\color{red}{ 25}{\small .} \)

Воспользуемся формулой для вычисления дискриминанта.

Правило

Дискриминант квадратного уравнения

\(\displaystyle \color{blue}{ a}X^2+\color{green}{ b}X+\color{red}{ c}=0\)

\(\displaystyle {\rm D}=\color{green}{ b}^2-4\color{blue}{ a}\color{red}{ c}{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle {\rm D}= \color{green}{ 10}^2-4\cdot \color{blue}{ 1}\cdot \color{red}{ 25}=100-100=0{\small .}\)

 

Далее определим число решений квадратного уравнения, воспользовавшись правилом.

Правило

Число решений квадратного уравнения

Уравнение \(\displaystyle aX^2+bX+c=0\)

  • имеет два решения, если \(\displaystyle {\rm D}>0{\small ;}\)
  • имеет одно решение (два совпадающих решения), если \(\displaystyle {\rm D}= 0{\small ;}\)
  • не имеет решений, если \(\displaystyle {\rm D}<0{\small .}\)

Значит, так как \(\displaystyle {\rm D}=0{ \small ,} \) то уравнение имеет одно решение (два совпадающих решения).

 \(\displaystyle x^2+3x-1=0\)

Перепишем уравнение, выделив его коэффициенты явно:

\(\displaystyle x^2+3x-1=\color{blue}{ 1}\cdot x^2+\color{green}{ 3}x\color{red}{ -1}{\small . }\)

Тогда \(\displaystyle \color{blue}{ a}=\color{blue}{ 1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ 3}, \color{red}{ c}=\color{red}{ -1}{\small .} \)

Воспользуемся формулой для вычисления дискриминанта.

Правило

Дискриминант квадратного уравнения

\(\displaystyle \color{blue}{ a}X^2+\color{green}{ b}X+\color{red}{ c}=0\)

\(\displaystyle {\rm D}=\color{green}{ b}^2-4\color{blue}{ a}\color{red}{ c}{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle {\rm D}= \color{green}{ 3}^2-4\cdot \color{blue}{ 1}\cdot (\color{red}{ -1})=9+4=13{\small .}\)

 

Далее определим число решений квадратного уравнения, воспользовавшись правилом.

Правило

Число решений квадратного уравнения

Уравнение \(\displaystyle aX^2+bX+c=0\)

  • имеет два решения, если \(\displaystyle {\rm D}>0{\small ;}\)
  • имеет одно решение (два совпадающих решения), если \(\displaystyle {\rm D}= 0{\small ;}\)
  • не имеет решений, если \(\displaystyle {\rm D}<0{\small .}\)

Значит, так как \(\displaystyle {\rm D}=13>0{ \small ,} \) то уравнение имеет два решения.

 \(\displaystyle 2x^2-5x+10=0\)

Перепишем уравнение, выделив его коэффициенты явно:

\(\displaystyle 2x^2-5x+10=\color{blue}{ 2}x^2\color{green}{ -5}x+\color{red}{ 10}{\small . }\)

Тогда \(\displaystyle \color{blue}{ a}=\color{blue}{ 2}, \color{green}{ b}=\color{green}{ -5}, \color{red}{ c}=\color{red}{ 10}{\small .} \)

Воспользуемся формулой для вычисления дискриминанта.

Правило

Дискриминант квадратного уравнения

\(\displaystyle \color{blue}{ a}X^2+\color{green}{ b}X+\color{red}{ c}=0\)

\(\displaystyle {\rm D}=\color{green}{ b}^2-4\color{blue}{ a}\color{red}{ c}{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle {\rm D}= (\color{green}{ -5})^2-4\cdot \color{blue}{ 2}\cdot \color{red}{ 10}=25-80=-55{\small .}\)

 

Далее определим число решений квадратного уравнения, воспользовавшись правилом.

Правило

Число решений квадратного уравнения

Уравнение \(\displaystyle aX^2+bX+c=0\)

  • имеет два решения, если \(\displaystyle {\rm D}>0{\small ;}\)
  • имеет одно решение (два совпадающих решения), если \(\displaystyle {\rm D}= 0{\small ;}\)
  • не имеет решений, если \(\displaystyle {\rm D}<0{\small .}\)

Значит, так как \(\displaystyle {\rm D}=-55<0{ \small ,} \) то уравнение не имеет решений.