Skip to main content

Теория: Решение квадратного уравнения методом выделения полного квадрата

Задание

Выделите полный квадрат и найдите все корни квадратного уравнения:

\(\displaystyle x^2-16x=-60 {\small . }\)
 

  1. Равносильное уравнение после выделения полного квадрата:
    \(\displaystyle \Big(\)\(\displaystyle \Big)^2=\)
     
  2. Корни уравнения:
    \(\displaystyle x_{1}=\) ,   \(\displaystyle x_{2}=\)
Решение

1. Выделим полный квадрат, воспользовавшись формулой.

Квадрат разности

Перепишем выражение \(\displaystyle x^2-16x\) так, чтобы удвоенное произведение было записано явно:

\(\displaystyle x^2-\color{red}{2}\cdot \frac{ 16x}{ \color{red}{2} }=x^2-\color{red}{2}\cdot x \cdot 8{\small .}\)

Сравним формулу и наше выражение:

\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{x}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{x} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2- \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{8}\,+\,?\end{aligned}\)

Получаем, что \(\displaystyle b=8{\small , }\) и надо добавить к нижнему выражению \(\displaystyle \color{green}{b}^2=\color{green}{8}^2=\color{green}{64}{\small ,}\) чтобы получить квадрат разности, то есть

\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{x}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{x} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2- \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{8}\,+\color{green}{64}{\small .}\end{aligned}\)

Поэтому дополним равенство

\(\displaystyle x^2-16x=-60\)

с обеих сторон числом \(\displaystyle \color{green}{64}\)

\(\displaystyle x^2-16x+\color{green}{64}=-60+\color{green}{64}\)

и распишем квадрат разности слева явно:

\(\displaystyle x^2-2\cdot x\cdot 8+\color{green}{8^2}=4{\small ; }\)

\(\displaystyle (x-8)^2=4{\small .}\)


2. Решим полученное уравнение, воспользовавшись правилом для решения уравнения вида \(\displaystyle \color{red}{ X}^2=a{\small . } \)

Решение уравнения \(\displaystyle x^2=a \)

Считая, что \(\displaystyle \color{red}{ X}= x-8\) и \(\displaystyle a=4>0{\small , } \) получаем:

\(\displaystyle x-8= \sqrt{ 4} \) или \(\displaystyle x-8= -\sqrt{ 4} {\small ; } \)

\(\displaystyle x-8=2\) или \(\displaystyle x-8=-2{\small . } \)

Значит,

\(\displaystyle x=10\) или \(\displaystyle x=6{\small . } \)

Ответ: \(\displaystyle (x-8)^2=4{\small ;}\)
  \(\displaystyle x_1=10 {\small , }\) \(\displaystyle x_2=6{\small . } \)