Skip to main content

Теория: Сравнения и иррациональные числа

Задание

Расположите следующие числа в порядке возрастания:

  • \(\displaystyle \sqrt{18}\)
  • \(\displaystyle 2\sqrt{6}\)
  • \(\displaystyle 5\)
  • \(\displaystyle \sqrt{5}+\sqrt{6}\)
\sqrt{18}
\(\displaystyle <\)
\sqrt{5}+\sqrt{6}
\(\displaystyle <\)
2\sqrt{6}
\(\displaystyle <\)
5
Решение

Правило

Сравнение положительных иррациональных чисел

Для положительных числе \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) верно, что 

 \(\displaystyle a<b\)

тогда и только тогда, когда

\(\displaystyle a^{\,2}<b^{\,2}{\small .}\)

1. Первый способ сравнения \(\displaystyle \sqrt{5}+\sqrt{6}\)

Воспользуемся правилом и сравним квадраты первых трех чисел:

\(\displaystyle (\sqrt{18})^2=18{\small ,}\)

\(\displaystyle (2\sqrt{6})^2=2^2\cdot (\sqrt{6})^2=4\cdot 6=24{\small ,}\)

\(\displaystyle 5^2=25{\small .}\)

Поэтому пока мы можем записать:

\(\displaystyle \sqrt{18}<2\sqrt{6}<5{\small .}\)

Теперь сравним \(\displaystyle \sqrt{5}+\sqrt{6}\) с каждым из этих чисел.

\(\displaystyle \sqrt{5}+\sqrt{6}>\sqrt{18}\)

\(\displaystyle \sqrt{5}+\sqrt{6}<2\sqrt{6}\)

Таким образом, 

\(\displaystyle \sqrt{18}<\sqrt{5}+\sqrt{6}<2\sqrt{6}<5{\small .}\)

 

2. Второй способ сравнения \(\displaystyle \sqrt{5}+\sqrt{6}\)

Возведём \(\displaystyle \sqrt{5}+\sqrt{6}\) в квадрат. Получаем:

\(\displaystyle (\sqrt{5}+\sqrt{6})^2=(\sqrt{5})^2+2\cdot \sqrt{5}\cdot \sqrt{ 6}+(\sqrt{6})^2=11+2\sqrt{30}{\small .}\)

Так как \(\displaystyle 5<\sqrt{30}<6{\small ,}\)  то

\(\displaystyle 11+2\cdot \color{green}{5}<11+2\color{green}{\sqrt{30}}<11+2\cdot \color{green}{6}{\small ,}\)

\(\displaystyle 21<11+2\sqrt{30}<23{\small .}\)

Возводя каждое из данных нам в начале чисел в квадрат, получаем:

\(\displaystyle (\sqrt{18})^2=18{\small ,}\)

\(\displaystyle (2\sqrt{6})^2=2^2\cdot (\sqrt{6})^2=4\cdot 6=24{\small ,}\)

\(\displaystyle 5^2=25{\small .}\)

Так как \(\displaystyle (\sqrt{5}+\sqrt{6})^2=11+2\sqrt{30}\) расположено между \(\displaystyle 21\)  и \(\displaystyle 23{\small ,}\) то

\(\displaystyle (\sqrt{18})^2=18<11+2\sqrt{30}=(\sqrt{5}+\sqrt{6})^2<24=(2\sqrt{6})^2<25=5^2{\small .}\)

Следовательно,

\(\displaystyle \sqrt{18}<\sqrt{5}+\sqrt{6}<2\sqrt{6}<5{\small .}\)

 

Ответ: \(\displaystyle \sqrt{18}<\sqrt{5}+\sqrt{6}<2\sqrt{6}<5{\small .}\)