Skip to main content

Теория: Уравнения, сводящиеся к линейным

Задание

Решите уравнение:

\(\displaystyle (x-2)+\frac{11x+3}{9x+1}=0\)
 

\(\displaystyle x=\)
\frac{1}{3}
Решение

Так как \(\displaystyle 9x+1\) –  знаменатель дроби, то \(\displaystyle 9x+1\) –  ненулевое выражение, и можно представить единицу как дробь со знаменателем \(\displaystyle 9x+1{\small :}\)

\(\displaystyle 1=\frac{9x+1}{9x+1}{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle (x-2)=(x-2)\cdot 1=(x-2)\cdot \frac{9x+1}{9x+1}=\frac{(x-2)(9x+1)}{9x+1}{\small .}\)

Поэтому

\(\displaystyle \color{green}{ (x-2)}+\frac{11x+3}{9x+1}=\color{green}{ \frac{(x-2)(9x+1)}{9x+1}}+\frac{11x+3}{9x+1}=\frac{(x-2)(9x+1)+11x+3}{9x+1}{\small . }\)


Раскроем скобки и приведем подобные в числителе получившейся дроби:

\(\displaystyle \begin{aligned} \frac{(x-2)(9x+1)+11x+3}{9x+1}&= \frac{x\,(9x+1)-2(9x+1)+11x+3}{9x+1}=\\&=\frac{9x^{\,2}+x-18x-2+11x+3}{9x+1}=\frac{9x^{\,2}-6x+1}{9x+1}{\small . }\end{aligned} \)

Получили дробное уравнение:

\(\displaystyle \frac{9x^{\,2}-6x+1}{9x+1}=0{\small . }\)

 

Решим данное уравнение. Для этого воспользуемся правилом решения дробных уравнений.

Правило

Дробное уравнение

\(\displaystyle \frac{f(x\,)}{g(x\,)}=0{ \small, }\) то \(\displaystyle f(x\,)=0\) и \(\displaystyle g(x\,)=\not 0{ \small . }\)

Поэтому из уравнения

\(\displaystyle \frac{9x^{\,2}-6x+1}{9x+1}=0\)

следует, что

\(\displaystyle 9x^{\,2}-6x+1=0 \) и \(\displaystyle 9x+1=\not 0{\small .} \)

Так как \(\displaystyle 9x+1=0\) при \(\displaystyle x=-\frac{1}{9}{\small ,}\) то \(\displaystyle 9x+1=\not 0{\small , }\) если \(\displaystyle x=\not -\frac{ 1}{ 9}{ \small .}\)


Решим уравнение \(\displaystyle 9x^{\,2}-6x+1=0 { \small .} \)

Уравнение \(\displaystyle 9x^{\,2}-6x+1=0{ \small .}\)

\(\displaystyle 9x^{\,2}-6x+1=0{ \small ; } \)

Свернем левую часть уравнения, воспользовавшись формулой квадрата разности:

\(\displaystyle a^{\,2}-2ab+b^{\,2}= (a-b\,)^2{\small . } \)

Тогда

\(\displaystyle 9x^{\,2}-6x+1= (3x\,)^2-2\cdot 3x\cdot 1+1^2=(3x-1)^2{\small . } \)

Получили уравнение

\(\displaystyle (3x-1)^2=0{\small , } \)

откуда

\(\displaystyle 3x-1=0{\small . } \)

Решая это линейное уравнение, получаем:

\(\displaystyle 3x=1{\small ; } \)

\(\displaystyle x=\frac{ 1}{ 3}{\small . } \)

Таким образом, получаем, что

\(\displaystyle x=\frac{ 1}{ 3} \) и \(\displaystyle x=\not -\frac{ 1}{ 9}{\small .}\)

Следовательно, \(\displaystyle x=\frac{ 1}{ 3}\) –  искомое решение.


Ответ: \(\displaystyle \bf \frac{ 1}{ 3}{\small . } \)