Skip to main content

Теория: 04 Квадратичные неравенства с положительным дискриминантом (в стадии наполнения)

Задание

Решите неравенство:

\(\displaystyle x^2+x-2>0{\small .}\)

\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ
Решение

Разложим квадратный трехчлен \(\displaystyle x^2+x-2 \) на множители.

\(\displaystyle x^2+x-2=(x-1)(x+2) \)

Выделим коэффициенты:

\(\displaystyle x^2+x-2=1\cdot x^2+1\cdot x-2=\color{red}{ 1}\cdot x^2+\color{green}{ 1}\cdot x\color{blue}{ -2}{\small .}\)

Тогда \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ 1}, \color{blue}{ c}=\color{blue}{ -2}{\small .} \)

Составим с данным трехчленом квадратное уравнение:

\(\displaystyle x^2+x-2=0{ \small ,} \)

и найдем его корни.

Вычислим дискриминант. Тогда

\(\displaystyle {\rm D}= \color{green}{1}^2-4\cdot \color{red}{ 1}\cdot (\color{blue}{ -2})=1+8=9\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 9}=3{\small .} \)

Найдем корни уравнения:

\(\displaystyle x_1= \frac{-1+3}{2}=\frac{2}{2}=1{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_2= \frac{-1-3}{2}=\frac{-4}{2}=-2{\small .}\)

Теперь разложим трехчлен на множители, используя правило.

Правило

Разложение на множители

\(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=\color{red}{ a}(X-x_1)(X-x_2){ \small ,}\)

где \(\displaystyle x_1 \) и \(\displaystyle x_2 \) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=0{\small .}\)

В нашем случае старший коэффициент \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}{ \small ,} \) а корни равны \(\displaystyle 1\) и \(\displaystyle -2{\small .} \)

Значит,

\(\displaystyle x^2+x-2=\color{red}{ 1}\cdot (x-1)(x-(-2))=(x-1)(x+2) {\small .}\)

Значит, неравенство \(\displaystyle x^2+x-2>0 \) превращается в неравенство

\(\displaystyle (x-1)(x+2)>0{\small .}\)


Запишем неравенство \(\displaystyle (x-1)(x+2)>0 \) в виде систем эквивалентных линейных неравенств.

Все решения неравенства \(\displaystyle (x-1)(x+2)>0\) получаются, когда

  • либо \(\displaystyle x-1>0{ \small ,}\, x+2>0\) – оба множителя больше нуля;
  • либо \(\displaystyle x-1<0{ \small ,}\, x+2<0\) – оба множителя меньше нуля.

Если это переписать в виде систем, то получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-1&>0{ \small ,}\\x+2&> 0\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-1&< 0{ \small ,}\\x+2& < 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Перенося все числа вправо, получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&>1{ \small ,}\\x&> -2\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&< 1{ \small ,}\\x& < -2{\small .}\end{aligned}\right.\)

 

Решим получившиеся системы.

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&>1{ \small ,}\\ x &>-2 \end{aligned} \right.\)

Неравенство \(\displaystyle x>1\) соответствует множеству точек на прямой:


Неравенство \(\displaystyle x>-2\) соответствует множеству точек на прямой:


Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно больше \(\displaystyle 1\) и больше \(\displaystyle -2{\small :}\)


Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств.

Значит, решения – \(\displaystyle x\in (1;+\infty){\small .} \)


 

или

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<1{ \small ,}\\ x &<-2{\small .} \end{aligned} \right.\)

Неравенство \(\displaystyle x< 1\) соответствует множеству точек на прямой:


Неравенство \(\displaystyle x<-2\) соответствует множеству точек на прямой:


Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно меньше \(\displaystyle 1\) и меньше \(\displaystyle -2{\small :}\)


Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств.

Значит, решения – \(\displaystyle x\in (-\infty;-2){\small .} \)


Объединяя полученные решения, получаем ответ:

\(\displaystyle x\in (1;+\infty)\qquad\) или \(\displaystyle \qquad x\in (-\infty;-2) \)


Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty;-2)\cup (1;+\infty){\small .} \)