Skip to main content

Теория: Квадратичная функция (парабола) и квадратичные неравенства (в стадии наполнения)

Задание


По данному графику квадратичной функции определите знаки неравенств.

Для любого числа \(\displaystyle x\) из интервала \(\displaystyle \rm \color{red}{A}\) верно \(\displaystyle 0{,}3x^2+2{,}2x-2{,}3\)\(\displaystyle 0{\small .}\)

Для любого числа \(\displaystyle x\) из интервала \(\displaystyle \rm \color{green}{B}\) верно \(\displaystyle 0{,}3x^2+2{,}2x-2{,}3\)\(\displaystyle 0{\small .}\)

Для любого числа \(\displaystyle x\) из интервала \(\displaystyle \rm \color{blue}{C}\) верно \(\displaystyle 0{,}3x^2+2{,}2x-2{,}3\)\(\displaystyle 0{\small .}\)

Решение

Знак выражения \(\displaystyle 0{,}3x^2+2{,}2x-2{,}3\) для любого \(\displaystyle x \) из интервала \(\displaystyle \rm \color{red}{A}\)

Определим знак выражения \(\displaystyle 0{,}3x^2+2{,}2x-2{,}3\) для любого \(\displaystyle x \) из интервала \(\displaystyle \rm \color{red}{A}{\small .}\)

Это выражение получается подстановкой значения \(\displaystyle x \) из интервала \(\displaystyle \rm \color{red}{A}\) в уравнение параболы \(\displaystyle y=0{,}3x^2+2{,}2x-2{,}3{\small .} \)

Значит, точки с координатами \(\displaystyle (\color{red}{ x}; 0{,}3x^2+2{,}2x-2{,}3)\) лежат на параболе:


Поэтому нужно определить знак координаты \(\displaystyle y \) для точек на параболе с абсциссой \(\displaystyle x\) из интервала \(\displaystyle \rm \color{red}{A}{\small .}\)

Но на графике видно, что все эти точки располагаются ниже оси \(\displaystyle \rm OX{\small : } \)


Значит, их вторые координаты отрицательны:

\(\displaystyle 0{,}3x^2+2{,}2x-2{,}3<0\) для всех \(\displaystyle x \) из интервала \(\displaystyle \rm \color{red}{A}{\small .}\)

Знак выражения \(\displaystyle 0{,}3x^2+2{,}2x-2{,}3\) для любого \(\displaystyle x \) из интервала \(\displaystyle \rm \color{green}{B}\)

Определим знак выражения \(\displaystyle 0{,}3x^2+2{,}2x-2{,}3\) для любого \(\displaystyle x \) из интервала \(\displaystyle \rm \color{green}{B}{\small .}\)

Это выражение получается подстановкой значения \(\displaystyle x \) из интервала \(\displaystyle \rm \color{green}{B}\) в уравнение параболы \(\displaystyle y=0{,}3x^2+2{,}2x-2{,}3{\small .} \)

Значит, точки с координатами \(\displaystyle (\color{green}{ x}; 0{,}3x^2+2{,}2x-2{,}3)\) лежат на параболе:


Поэтому нужно определить знак координаты \(\displaystyle y \) для точек на параболе с абсциссой \(\displaystyle x\) из интервала \(\displaystyle \rm \color{green}{B}{\small .}\)

Но на графике видно, что все эти точки располагаются выше оси \(\displaystyle \rm OX{\small : } \)


Значит, их вторые координаты положительны:

\(\displaystyle 0{,}3x^2+2{,}2x-2{,}3>0\) для всех \(\displaystyle x \) из интервала \(\displaystyle \rm \color{green}{B}{\small .}\)

Знак выражения \(\displaystyle 0{,}3x^2+2{,}2x-2{,}3\) для любого \(\displaystyle x \) из интервала \(\displaystyle \rm \color{blue}{C}\)

Определим знак выражения \(\displaystyle 0{,}3x^2+2{,}2x-2{,}3\) для любого \(\displaystyle x \) из интервала \(\displaystyle \rm \color{blue}{C}{\small .}\)

Это выражение получается подстановкой значения \(\displaystyle x \) из интервала \(\displaystyle \rm \color{blue}{C}\) в уравнение параболы \(\displaystyle y=0{,}3x^2+2{,}2x-2{,}3{\small .} \)

Значит, точки с координатами \(\displaystyle (\color{blue}{ x}; 0{,}3x^2+2{,}2x-2{,}3)\) лежат на параболе:


Поэтому нужно определить знак координаты \(\displaystyle y \) для точек на параболе с абсциссой \(\displaystyle x\) из интервала \(\displaystyle \rm \color{blue}{C}{\small .}\)

Но на графике видно, что все эти точки располагаются выше оси \(\displaystyle \rm OX{\small : } \)


Значит, их вторые координаты положительны:

\(\displaystyle 0{,}3x^2+2{,}2x-2{,}3>0\) для всех \(\displaystyle x \) из интервала \(\displaystyle \rm \color{blue}{C}{\small .}\)

Ответ:\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 0{,}3x^2+2{,}2x-2{,}3&<0 \text{ {\small для всех} } x \text{ {\small из интервала} } \rm \color{red}{A}{\small ,}\\ 0{,}3x^2+2{,}2x-2{,}3&>0 \text{ {\small для всех} } x \text{ {\small из интервала} } \rm \color{green}{B}{\small ,}\\ 0{,}3x^2+2{,}2x-2{,}3&>0 \text{ {\small для всех} } x \text{ {\small из интервала} } \rm \color{blue}{C}{\small .} \end{aligned} \right.\)